文様群

文様群（もんようぐん、英: wallpaper group）もしくは壁紙群（かべがみぐん）は、パターンの対称性に基づく、2次元内での繰り返しパターンに関する数学的な分類である。このようなパターンは、建築や美術で頻繁に使用され、そのパターンは17種に大別される。

歴史

1891年にエヴグラフ・フェドロフによって2次元空間内での繰り返しパターンが17種に大別されることの証明がなされ^[1]、1924年ジョージ・ポリアによっても独立に証明された^[2]。

卜部東介（1953–2011、当時茨城大学）が、2002年に 利根安見子、近藤誠造（京都府立大学）の協力の下、日本の伝統文様には17種類の文様群全てが含まれていることをインターネット上に発表した^[3]。

導入

文様群は、対称性によるパターン分類であるため、色・形状・サイズが大きく違う場合でも、同じグループに分類される。

対称性

17種のパターンは対称性の組合せからなっている。

• 並進対称性：Translations
• 回転（60°、 90°、120°、180°）：Rotations
• 鏡映（鏡像対称性）：mirror isometries
• 映進（並進と鏡映の組合せ）：Glide reflections

文様群の表記

結晶学記法

結晶は3次元空間の空間群で属するが、2次元の文様群を表記することは可能である。

• 基本胞（primitive cell）の場合P、中心胞 (centered cell) の場合はCが頭文字となる。
• 回転対称数：360°/n 回
• 鏡映：鏡映対称性が組み合わさった場合は、mirror isometriesからm、鏡映していない場合は1（もしくは省略）
• 映進：映進対称性が組み合わさった場合は、Glide reflectionsからg、映進していない場合は1（もしくは省略）

例

• p2 (p211): 基本胞、回転対称2、鏡映・映進無し
• c2mm: 中心胞、回転対称2、主軸と垂直の軸で鏡映
• p31m: 基本胞、回転対称3、鏡軸は60°の鏡映

オービフォルド記法

→詳細は「オービフォルド記法（英語版）」を参照

17種の文様群

記号説明

• ひし形は 180° (= 360°/ 2) の回転中心
• 三角形は、120° (= 360°/3) の回転中心
• 正方形は、90° (= 360°/4) の回転中心
• 六角形は、60° (= 360°/6) の回転中心
• 太い線は鏡映軸
• 鏡映と並進を組み合わせた映進軸
• 黄色い領域は、基本パターンである。

p1群

P1群は、並進のみの連続パターンで、その他の回転などは含まない。

• オービフォルド記法：o
• 点群: C1

日本の伝統文様における代表例＜雲立涌＞

p2群

• オービフォルド記法：2222
• 点群: C2

日本の伝統文様における代表例＜子持吉原＞

pm群

• オービフォルド記法：**
• 点群: D1

日本の伝統文様における代表例＜桐立涌＞

pg群

• オービフォルド記法：××
• 点群: D1

日本の伝統文様における代表例＜鎌輪ぬ＞

cm群

• オービフォルド記法：*×
• 点群: D1

日本の伝統文様における代表例＜青海波＞

p2mm群

• オービフォルド記法：*2222
• 点群: D2

日本の伝統文様における代表例＜両滝縞＞

p2mg群

• オービフォルド記法：22*
• 点群:

日本の伝統文様における代表例＜山路文＞

p2gg群

• オービフォルド記法：22×
• 点群:

日本の伝統文様における代表例＜紗綾形＞

c2mm群

• オービフォルド記法：2*22
• 点群:

日本の伝統文様における代表例＜松皮菱＞

p4群

• オービフォルド記法：442
• 点群:

日本の伝統文様における代表例＜角繋ぎ＞

p4mm群

• オービフォルド記法：*442
• 点群:

日本の伝統文様における代表例＜市松＞

p4mg群

• オービフォルド記法：4*2
• 点群:

日本の伝統文様における代表例＜五崩し＞

p3群

• オービフォルド記法：333
• 点群:

日本の伝統文様における代表例＜鶴亀甲＞

p3m1群

• オービフォルド記法：*333
• 点群:

日本の伝統文様における代表例＜毘沙門亀甲＞

p31m群

• オービフォルド記法：3*3
• 点群:

日本の伝統文様における代表例＜毘沙門亀甲２＞

p6群

• オービフォルド記法：632
• 点群:

日本の伝統文様における代表例＜六つ手卍＞

p6mm群

• オービフォルド記法：*632
• 点群:

日本の伝統文様における代表例＜麻の葉＞