昇鎖条件

昇鎖条件（しょうさじょうけん、英: ascending chain condition; ACC）および降鎖条件（こうさじょうけん、英: descending chain condition; DCC）とは、ある代数的構造が満たす有限性に関する性質である。これらの性質を持つ代数的構造で最も代表的なものに、可換環のイデアルがある^[1][2][3]。昇鎖条件および降鎖条件は、ダフィット・ヒルベルト、エミー・ネーター、エミール・アルティンらが可換環の構造に関する理論を構築する上で、重要な役割を果たした。

昇鎖条件および降鎖条件それ自体は、いかなる半順序集合に対しても意味を持つような、抽象的な形式で表すことができる。この考え方は Gabriel–Rentschler による抽象代数の次元に関する理論において有用である。

定義

半順序集合 P において、任意の真の上昇列 a₁ < a₂ < a₃ < ... が有限回で止まるときに昇鎖条件が成り立つと言う。この条件は次のようにも言い換えられる。任意の列

${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \cdots }$

に対して、ある自然数 n が存在して、

${\displaystyle a_{n}=a_{n+1}=a_{n+2}=\cdots }$

が成り立つ。

同様に、半順序集合 P において、任意の真の下降列 a₁ > a₂ > a₃ > ... が有限回で止まるときに降鎖条件が成り立つと言う。この条件は次のようにも言い換えられる。任意の列

${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq \cdots }$

に対して、ある自然数 n が存在して、

${\displaystyle a_{n}=a_{n+1}=a_{n+2}=\cdots }$

が成り立つ。

注釈

• 「無限に続く真の上昇／下降列がない」ことと少し異なるそれよりも強い条件として、「任意に長い真の昇鎖／降鎖列が存在しない」（つまり列の長さの最大値が存在する）というものがある。
• 降鎖条件を満たすことと、整礎であること、つまり任意の空でない部分集合が極小元をもつことは同値である。これは極小条件 (minimal condition) とも呼ばれる。
• 昇鎖条件を満たすことと、逆整礎であること、つまり任意の空でない部分集合が極大元をもつことは同値である。これは極大条件 (maximal condition) とも呼ばれる。
• 有限半順序集合は昇鎖条件と降鎖条件を満たす。
• 降鎖条件を満たす全順序集合は整列集合と呼ばれる。