春木の定理

春木の定理（はるきのていり、英: Haruki's theorem）とは、次の主張のことをいう。

定理 ―  三円が互いに二点で交わっている。このとき交点を結ぶ線分の長さ a, b, c, x, y, z は

${\displaystyle {\frac {abc}{xyz}}=1}$

を満たす。^[1]

証明

長さ a, x の辺の交点を A、x, b の交点を Z、b, y の交点を B、y, c の交点を X、c, z の交点を C、z, a の交点を Y とする。

この時 AX, BY, CZ は一点で交わる（根心）。この点を P とする。

△APY と △BPX で

∠APY = ∠BPX 　(対頂角)

∠PAY = ∠PBX 　(弦 XY に対する円周角)

2角が各等しいので

△APY ∽ △BPX

同様に

△BPZ ∽ △CPY

△CPX ∽ △APZ

これより

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}{\frac {a}{y}}&={\frac {\mathrm {PY} }{\mathrm {PX} }}\\{\frac {b}{z}}&={\frac {\mathrm {PZ} }{\mathrm {PY} }}\\{\frac {c}{x}}&={\frac {\mathrm {PX} }{\mathrm {PZ} }}\end{aligned}}\right.}$

この3式を掛け合わせると

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a}{y}}{\frac {b}{z}}{\frac {c}{x}}&={\frac {\mathrm {PY} }{\mathrm {PX} }}{\frac {\mathrm {PZ} }{\mathrm {PY} }}{\frac {\mathrm {PX} }{\mathrm {PZ} }}\\&=1\end{aligned}}}$

が示される。

関連項目

• 春木博