曲率

曲率（きょくりつ、英: curvature）とは、曲線や曲面の曲がり具合を表す量である^[1]。

例えば、半径 r の円周の曲率は 1/r であり、曲がり具合がきついほど曲率は大きくなる。この概念はより抽象的な図形である多様体においても用いられる。曲面上の曲線の曲率を最初に研究したのは、ホイヘンスとされ、ニュートンの貢献もさることながら、オイラーは曲率の研究に本格的に取り組んだ。その他モンジュ、ベルヌーイ、ムーニエなども研究した^[2]。

曲線の曲率

定義

ある任意の曲線において、線上の点 P₀ を基点とし、そこから曲線上の任意点 P（位置ベクトル r_P で表されるとする）までの距離を s とする。（この場合の s は一般座標上の距離か曲線上の長さのいずれでもよい。）

このとき点 P の位置は、

${\displaystyle \mathbf {r} _{P}=\mathbf {r} (s)}$

のように、変数 s の関数として表すことができる。（以下、特に断らない限り r_P = r とする。）

このとき、点 P で接する方向の単位ベクトル（これを t_P とする）は、

${\displaystyle \mathbf {t} _{P}=\mathbf {t} (s)=\lim _{\Delta s\to 0}{\mathbf {r} (s+\Delta s)-\mathbf {r} (s) \over {\Delta s}}={d\mathbf {r} \over {ds}}}$

となる。（位置ベクトルの変位分 Δr が十分小さいとき、|Δr| = Δs であるから、これは単位ベクトルである。）

同様に、${\displaystyle \mathbf {r} _{Q}=\mathbf {r} (s+\Delta s)}$ と表される点 Q を考えるとき、点 Q 上の単位接線ベクトル t_Q は、

${\displaystyle \mathbf {t} _{Q}=\mathbf {t} (s+\Delta s)}$

であり、二つの単位接線ベクトル t_P 、t_Q のなす角度を Δθ とすると、

${\displaystyle {\left|\mathbf {t} _{Q}-\mathbf {t} _{P}\right| \over 2}=\sin {\Delta \theta \over 2}}$

である。

Δθが十分小さい、すなわち Δs が十分小さいとき、

${\displaystyle \Delta \theta =\sin \Delta \theta =\left|\mathbf {t} _{Q}-\mathbf {t} _{P}\right|}$

と見做せる。

従って、接線傾斜 Δθ の変動率である χ を以下のように定義できる。

${\displaystyle \chi (s)={d\mathbf {\theta } \over {ds}}=\lim _{\Delta s\to 0}{\Delta \theta \over {\Delta s}}=\lim _{\Delta s\to 0}\left|{\mathbf {t} (s+\Delta s)-\mathbf {t} (s) \over {\Delta s}}\right|=\left|{d\mathbf {t} \over {ds}}\right|=\left|{d^{2}\mathbf {r} \over {ds}^{2}}\right|={1 \over R(s)}}$

一般に χ を曲率、χ の逆数 R を曲率半径と言う。

また、特に曲線が高次のとき、Δs → 0 の極限で二つの接線によって決まる平面を、点 P における接触平面と言う。

性質

更に、t を s で微分すると、

${\displaystyle {d\mathbf {t} \over {ds}}={d^{2}\mathbf {r} \over {ds^{2}}}=\mathbf {n} {d\theta \over {ds}}={\mathbf {n} \over R}}$

が得られる。ここで n が主法線方向の単位ベクトルであり、主法線と接線は直交している。これは d r/ds が単位ベクトルのため、

${\displaystyle \left({d\mathbf {r} \over {ds}}\right)^{2}=\left|{d\mathbf {r} \over {ds}}\right|^{2}=1}$

となり、これを s について微分すると、

${\displaystyle {d \over {ds}}\left({d\mathbf {r} \over {ds}}\right)^{2}={d^{2}\mathbf {r} \over {ds^{2}}}\cdot {d\mathbf {r} \over {ds}}+{d\mathbf {r} \over {ds}}\cdot {d^{2}\mathbf {r} \over {ds^{2}}}={\mathbf {n} \over R}\cdot \mathbf {t} +\mathbf {t} \cdot {\mathbf {n} \over R}=0}$

となるためである（ベクトル同士の内積がゼロとなるので、当該ベクトル同士は直交している）。

ベクトル t と n の外積、

${\displaystyle \mathbf {t} \times \mathbf {n} =\mathbf {b} }$

で得られるベクトル b が陪法線方向の単位ベクトルとなる。陪法線は接触平面に対する法線となっている。