二十一角形

二十一角形（にじゅういちかくけい、にじゅういちかっけい、icosihenagon）は、多角形の一つで、21本の辺と21個の頂点を持つ図形である。内角の和は3420°、対角線の本数は189本である。

正二十一角形

正二十一角形

正二十一角形においては、中心角と外角は17.142…°で、内角は162.857…°となる。一辺の長さが a の正二十一角形の面積 S は

${\displaystyle S={\frac {21}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{21}}\simeq 34.83147a^{2}}$

${\displaystyle \cos(2\pi /21)}$を平方根と立方根で表すことが可能である。

${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{21}}=\cos \left({\frac {2\pi }{3}}-{\frac {4\pi }{7}}\right)}$

Trigonometric constants expressed in real radicalsより

${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{21}}={\frac {1+{\sqrt {21}}+{\sqrt[{3}]{154-30{\sqrt {21}}+\left(42{\sqrt {3}}-18{\sqrt {7}}\right)i}}+{\sqrt[{3}]{154-30{\sqrt {21}}+\left(18{\sqrt {7}}-42{\sqrt {3}}\right)i}}}{12}}}$

Σcos(2kπ/(2n+1))=-1/2の関係式から

${\displaystyle 2\cos {\frac {2\pi }{21}}+2\cos {\frac {4\pi }{21}}+2\cos {\frac {6\pi }{21}}+2\cos {\frac {8\pi }{21}}+2\cos {\frac {10\pi }{21}}+2\cos {\frac {12\pi }{21}}+2\cos {\frac {14\pi }{21}}+2\cos {\frac {16\pi }{21}}+2\cos {\frac {18\pi }{21}}+2\cos {\frac {20\pi }{21}}=-1}$

ここで、以下の関係式を使って

${\displaystyle {\begin{aligned}&2\cos {\frac {14\pi }{21}}=2\cos {\frac {2\pi }{3}}=-1\,\\&2\cos {\frac {6\pi }{21}}+2\cos {\frac {12\pi }{21}}+2\cos {\frac {18\pi }{21}}=2\cos {\frac {2\pi }{7}}+2\cos {\frac {4\pi }{7}}+2\cos {\frac {6\pi }{7}}=-1\\\end{aligned}}}$

整理すると

${\displaystyle 2\cos {\frac {2\pi }{21}}+2\cos {\frac {4\pi }{21}}+2\cos {\frac {8\pi }{21}}+2\cos {\frac {10\pi }{21}}+2\cos {\frac {16\pi }{21}}+2\cos {\frac {20\pi }{21}}=1}$

以下のように定義すると

${\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha =2\cos {\frac {2\pi }{21}}+2\cos {\frac {8\pi }{21}}+2\cos {\frac {10\pi }{21}}\\&\beta =2\cos {\frac {4\pi }{21}}+2\cos {\frac {16\pi }{21}}+2\cos {\frac {20\pi }{21}}\end{aligned}}}$

以下の値が求められる。

${\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha +\beta =1\,\\&(\alpha -\beta )^{2}=21\\&\alpha -\beta ={\sqrt {21}}\\\end{aligned}}}$

解と係数の関係を求め、三次方程式を解くことにより${\displaystyle \cos(2\pi /21)}$が求められる。

正二十一角形の作図

正二十一角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正二十一角形は折紙により作図可能である。