正則グラフ

正則グラフ（せいそくグラフ、英: regular graph）は、グラフ理論において、各頂点の隣接する頂点数が全て同じであるようなグラフである。すなわち、全ての頂点の次数が等しい。頂点の次数が k の正則グラフを 「k-正則グラフ」または「次数 k の正則グラフ」と呼ぶ。

次数2までの正則グラフの分類は容易である。0-正則グラフは連結されていない頂点で構成され、1-正則グラフは連結されていない辺で構成され、2-正則グラフは連結されていない閉路で構成される。

3-正則グラフは立方体グラフとも呼ばれる。

正則グラフのうち、隣接する2つの頂点に共通する隣接点が常に同じ l 個で、隣接しない2つの頂点に共通する隣接点が常に同じ n 個となっているものを強正則グラフという。正則だが強正則でない最小のグラフは、6頂点の閉路グラフかつ循環グラフである。

完全グラフ ${\displaystyle K_{m}}$ は任意の ${\displaystyle m}$ について強正則である。

クリスピン・ナッシュ＝ウィリアムズの定理によれば、2k+1 個の頂点から成る k-正則グラフには必ずハミルトン路がある。

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  0-正則グラフ
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  1-正則グラフ
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  2-正則グラフ
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  3-正則グラフ

代数的属性

あるグラフの隣接行列を A とする。そのグラフが k-正則であることは、ベクトル ${\displaystyle {\textbf {j}}=(1,\dots ,1)}$ が固有値 k に属する A の固有ベクトルであることと同値である^[1]。他の固有値に対応した固有ベクトルは ${\displaystyle {\textbf {j}}}$ と直交なので、そのような固有ベクトル ${\displaystyle v=(v_{1},\dots ,v_{n})}$ について ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}v_{i}=0}$ が成り立つ。

次数 k の正則グラフが連結していることと、固有値 k の重複度が1であることは同値である^[1]。

正則な連結グラフの判定基準も存在する。グラフが連結かつ正則であることと、${\displaystyle J_{ij}=1}$ である行列 J がそのグラフの隣接代数（Aの冪乗の1次結合）にあることは同値である。^[要出典]

グラフGはk-正則グラフで、直径D、隣接行列の固有値群は ${\displaystyle k=\lambda _{0}>\lambda _{1}\geq \dots \geq \lambda _{n-1}}$ とする。Gが2部グラフでないなら、次が成り立つ。

${\displaystyle D\leq {\frac {\log {(n-1)}}{\log(k/\lambda )}}+1}$

ここで ${\displaystyle \lambda =\max _{i>0}\{\mid \lambda _{i}\mid \}}$ である。^[要出典]

生成

正則グラフを生成するソフトウェアとして GenReg がある^[2]。