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正則測度
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数学の分野における、ある位相空間上の正則測度(せいそくそくど、英: regular measure)とは、その空間内のすべての可測集合について「近似的に開」(approximately open)かつ「近似的に閉」(approximately closed)であるような測度のことを言う。
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定義
要約
視点
(X, T) を位相空間とし、Σ を、位相 T を含む X 上のσ-代数とする(したがって、すべての開集合と閉集合は可測集合であり、Σ は少なくとも X 上のボレルσ-代数と同じくらい良質なものである)。μ を (X, Σ) 上の測度とする。X の可測部分集合 A が μ-正則であるとは、
および
が成り立つことを言う。あるいは、A が μ-正則集合であるための必要十分条件は、すべての δ > 0 に対して、
および
を満たすような閉集合 F と開集合 G が存在することを言う。
これら二つの定義は、 が有限である場合には同値となる[1](そうでない場合には、二つ目の定義の方が強くなる)。すべての可測集合が正則であるとき、μ は正則測度と呼ばれる。
人によっては、集合 F が(閉であるだけでなく)コンパクトであることも必要とする[2]。
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例
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脚注
参考文献
関連項目
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