正距方位図法

正距方位図法（せいきょほういずほう、英: azimuthal equidistant projection）は、中心からの距離と方位が正しく記され^[1]、地球全体が真円で表される投影法である。方位図法の一種。

正距方位図法による地図

投影中心を北極点とし、南極点まで拡張投影した地図

投影中心を南極点とし、北極点まで拡張投影した地図

中心に対し、地球の裏側に当たる一点（対蹠地）が円周となる。円周に近づくほど引き伸ばされるため、歪みが大きい。飛行機の最短経路（大圏コース）や方位を見るために使われるもの^[2]。

概要

距離については、中心から任意の点までの距離はその任意の点から中心までの距離と等しくなるが、方位については別である。例えば東京からホノルルの方位はほぼ東（真東から3度北）だが、逆にホノルルから東京の方位は西にはならない（真西から30度北）。東京を中心において、ホノルルから東京の方位が分かるような図法として逆方位図法 (retroazimuthal projection) と呼ばれるものがある（ハンメル逆方位図法が正距逆方位図法）。

国連旗

国際連合の国連旗にある地図は、北極点を中心とした正距方位図法で描かれた地球である^[3]。この場合、南極点を示すのは外周全体ということになるが、国連旗では南緯60度より南は省略されており、南極点や南極大陸は範囲外である。オーストラリアなど南半球の陸地が大きく歪んでいるのが確認できる。

数学的定義

正距方位図法の概念図

正距方位図法に適用されたテイソーの指示楕円。橙色の斑点は、地球上では全て円形である。円形斑点が間延びしているほど、投影による歪みが生じている。

地球上の一点を、当該地点から任意地点への距離と方位角が正確に投影される投影中心として選ぶ。φ を緯度、 λ を経度として、当該点 (φ₀, λ₀) は投影円の中心に投影される。与えられた方位に沿った全ての点は投影中心から伸びる直線に沿って投影され、当該直線と鉛直方向との成す角度 θ が方位角である。投影中心から別の投影点までの距離 ρ は、地球上でそれらの点を結ぶ大円に沿った弧長に相当する。この記述によれば、(θ, ρ) で指定される平面上の点は、次式により直交座標に投影される：

${\displaystyle x=\rho \sin \theta ,\quad y=-\rho \cos \theta }$

地球半径を R とすると、地球上の点の座標 (θ, ρ) とその緯度・経度座標 (φ, λ) の関係は、次式で与えられる^[4]：

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {\rho }{R}}&=\sin \phi _{0}\sin \phi +\cos \phi _{0}\cos \phi \cos \left(\lambda -\lambda _{0}\right)\\\tan \theta &={\frac {\cos \phi \sin \left(\lambda -\lambda _{0}\right)}{\cos \phi _{0}\sin \phi -\sin \phi _{0}\cos \phi \cos \left(\lambda -\lambda _{0}\right)}}\end{aligned}}}$

投影中心が北極点の場合は、φ₀ は π/2 に等しくなり、λ₀ は任意となるが値 0 を割り当てるのが最も便利である。この割り当てにより ρ と θ の式は非常に簡略化され、

${\displaystyle \rho =R\left({\frac {\pi }{2}}-\phi \right),\quad \theta =\lambda ~~}$

となる。

ギャラリー

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  緯度経度0度を中心とした正距方位図法
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  北極を中心とした正距方位図法
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  南極を中心とした正距方位図法