比例

　数学における比例（ひれい、英: proportionality）している、もしくは比例関係（ひれいかんけい、英: Proportional relationship）にあるとは、変数を用いて書かれる二量の関係の内、一方が他方の定数倍であるような関係にあるということである。

この項目では、数学用語について説明しています。選挙制度については「比例代表制」をご覧ください。

　以下、本記事では2つある内の変数の一方を変数 x （省略し x と表す）とし、他方を変数 y （省略し y と表す）とする。

また、 y が x の定数 k 倍であるとし、このときの定数 k を比例定数（ひれいていすう、英: Proportionality constant） という。以下、比例定数 k と表現する。そして、このとき x と y と比例定数 k を用いた、

　${\displaystyle k={\frac {y}{x}}}$

という方程式が成り立つ。

様々な比例

正比例の定義

　変数を用いて書かれる二量の一方が他方の定数倍である、つまり、

x と y が、 0 でない比例定数 k を用いた

${\displaystyle y=kx}$

という方程式で書くことができるとき、 y は x に正比例（せいひれい、英: Directly proportional）している、もしくは正比例関係（せいひれいかんけい、英: Direct proportional relationship）にあるという。

y が x に正比例しているときに x を y に関する式で表すと

${\displaystyle x={\frac {1}{k}}\,y}$

となる、よって、 y が x に正比例するとき、 x が y に正比例すると分かる。また、後者の比例定数は前者の比例定数 k の逆数である${\displaystyle {\frac {1}{k}}\,}$となる。

　そして、特に比例定数 k の具体的な値に言及する必要の無いときなどは

${\displaystyle y\varpropto x}$

と、比例記号 ∝（U+221D）を用いて書くこともある。

比例関係は同値関係の一つである。実数や複素数のように結合的な可除代数においては、比例による同値関係は 0以外の元を全て一つの類に分類してしまうが、（次元が 2以上の）線形空間に対しては幾何学が展開されるような豊かな構造をもつ同値類集合を形作る（射影空間と呼ぶ）。

→詳細は「正比例」を参照

反比例の定義

y が x の逆数に正比例する、つまり

${\displaystyle y=k\times {\frac {1}{x}}}$

という方程式が常に成り立つとき、 y は x に反比例するという。このとき同時に、x は y に反比例するともいえる。

→詳細は「反比例」を参照

二乗比例の定義

y が x の自乗に正比例する、つまり

${\displaystyle y=k\times x^{2}}$

とき、y は x に二乗比例するという。

→詳細は「二乗比例」を参照

指数比例、対数比例の定義

y が x の指数関数に比例する、つまり

${\displaystyle y=k\times a^{x}}$

とき、y は x に指数比例する、x は y に対数比例するという。ただし逆に、y はx に対数比例する、x は y に指数比例するということもある。

→詳細は「指数比例」を参照

→詳細は「対数比例」を参照

正比例の性質

• ${\displaystyle x:y=x:kx=1:k}$となるため、${\displaystyle x:y}$の比の値はkで常に一定である。（定義より）
• x が a 倍になれば、それに伴い、y も a 倍になる。（必要十分条件から）
• 正比例の方程式、${\displaystyle y=ax}$と一次関数の基本式、${\displaystyle y=ax+b}$を比較すると、正比例の関係は、一次関数の定数bが0の特殊な場合であるとわかる。よって、変数 x と変数 y 直交座標を取ってグラフにすれば、そのグラフは原点を通過する直線を描くことがわかる。また、その線形関数を微分すると${\displaystyle {dy \over dx}=k}$となる。
  • xとyの相互相関関数は、比例係数の符号（|k|）に等しい。
  • x が a 増えれば、y は ka 増える。

比例関係の例

• 長方形の面積は、縦の長さを一定にしたとき、横の長さに比例する。
• 等速直線運動では、速さが一定であるとき、移動距離は経過時間に比例する。
• 固定抵抗器を流れる電流は、電圧に比例する。（オームの法則より）
• 圧力が一定であるとき、気体の体積は温度（絶対温度）に比例する。（シャルルの法則）
• 物体が全てエネルギーに変換される時、そのエネルギーは物体の質量に比例する。（相対性理論より）

固有名がついている比例定数

• 力学の係数
  • 摩擦係数
  • 反発係数（はねかえり係数）
  • ばね係数（弾性係数）
• 物性物理学の係数
  • 熱伝導率、電気伝導率（電気伝導参照）など多数存在
• 原子物理学の係数
  • 崩壊定数
  • 吸収係数
• その他
  • リスク係数（英語版）

など

関連項目

• 正比例
• 反比例
• 二乗比例
• 指数比例
• 対数比例
• 一次関数
• 線形代数、線形性、線形写像
• 微分係数