混合体積

化学における混合については「混合物」をご覧ください。

凸幾何学（英語版）における混合体積（こんごうたいせき^[1][2][3]、mixed volume）とは、${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$上のいくつかの凸体（英語版）の組と非負数を特徴づける手法である。凸体の形状と大きさ、相対的な方向に依存する。

定義

${\displaystyle K_{1},K_{2},\dots ,K_{r}}$を${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$上の凸体とする。次の関数を考える。

${\displaystyle f(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{r})=\mathrm {Vol} _{n}(\lambda _{1}K_{1}+\cdots +\lambda _{r}K_{r}),\qquad \lambda _{i}\geq 0,}$

ここで${\displaystyle {\text{Vol}}_{n}}$は${\displaystyle n}$次元体積、${\displaystyle {\text{Vol}}_{n}}$内の加法は拡大縮小された${\displaystyle K_{i}}$に関するミンコフスキー和（英語版）である。${\displaystyle f}$は${\displaystyle n}$次斉次多項式であることが分かり、次のように書ける。

${\displaystyle f(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{r})=\sum _{j_{1},\ldots ,j_{n}=1}^{r}V(K_{j_{1}},\ldots ,K_{j_{n}})\lambda _{j_{1}}\cdots \lambda _{j_{n}},}$

ただし、${\displaystyle V}$は対称関数である。インデックス${\displaystyle j\in \{1,\ldots ,r\}^{n}}$ について、係数${\displaystyle V(K_{j_{1}},\dots ,K_{j_{n}})}$を${\displaystyle K_{j_{1}},\dots ,K_{j_{n}}}$の混合体積という。

性質

• 混合体積は次の3つの性質で特徴づけられる。

1. ${\displaystyle V(K,\dots ,K)={\text{Vol}}_{n}(K)}$
2. ${\displaystyle V}$ は対称関数。
3. ${\displaystyle V}$は多重線型形。つまり、${\displaystyle \lambda ,\lambda '\geq 0}$について、${\displaystyle V(\lambda K+\lambda 'K',K_{2},\dots ,K_{n})=\lambda V(K,K_{2},\dots ,K_{n})+\lambda 'V(K',K_{2},\dots ,K_{n})}$

• 混合体積は非負で、各変数において単調増加。つまり${\displaystyle K_{1}\subseteq K_{1}'}$とすれば、 ${\displaystyle V(K_{1},K_{2},\ldots ,K_{n})\leq V(K_{1}',K_{2},\ldots ,K_{n})}$。
• アレクサンドル・アレクサンドロフ（英語版）とヴェルナー・フェンシェル（英語版）の発見によれば、次の不等式が成立する（アレクサンドロフ＝フェンシェル不等式）。

${\displaystyle V(K_{1},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})\geq {\sqrt {V(K_{1},K_{1},K_{3},\ldots ,K_{n})V(K_{2},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})}}.}$

ブルン＝ミンコフスキーの不等式（英語版）や凸体におけるミンコフスキーの第一不等式（英語版）のような多くの不等式は、このアレクサンドロフ＝フェンシェル不等式の系である。

Quermassintegrals

${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{n}}$を凸体、${\displaystyle B=B_{n}\subset \mathbb {R} ^{n}}$を単位球とする。

${\displaystyle W_{j}(K)=V({\overset {n-j{\text{ times}}}{\overbrace {K,K,\ldots ,K} }},{\overset {j{\text{ times}}}{\overbrace {B,B,\ldots ,B} }})}$

は${\displaystyle K}$の j-th quermassintegral と呼ばれる^[4]。

混合体積の定義よりシュタイナーの公式（Steiner formula）と呼ばれる次の式が成立する。ヤコブ・シュタイナーの名を冠する。

${\displaystyle \mathrm {Vol} _{n}(K+tB)=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}W_{j}(K)t^{j}.}$

Intrinsic volumes

${\displaystyle K}$の j-th intrinsic volume はquermassintegralの異なる正規化物である。次の式で定義される。

${\displaystyle V_{j}(K)={\binom {n}{j}}{\frac {W_{n-j}(K)}{\kappa _{n-j}}},}$

つまり、

${\displaystyle \mathrm {Vol} _{n}(K+tB)=\sum _{j=0}^{n}V_{j}(K)\,\mathrm {Vol} _{n-j}(tB_{n-j}).}$

ここで${\displaystyle \kappa _{n-j}={\text{Vol}}_{n-j}(B_{n-j})}$は、${\displaystyle (n-j)}$次元単位球の体積。

ハドヴィガーの定理

→詳細は「ハドヴィガーの定理」を参照

ハドヴィガーの定理は、${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$内の凸体上の剛体運動の下で不変で連続な任意の付値はquermassintegral（またはintrinsic volume）の線型結合で表すことができることを主張する^[5]。