演算子 (物理学)

物理学における演算子（えんざんし、operator）とは ある物理状態の空間から別の物理状態の空間への関数のこと。 演算子が用いられている最も簡単な例として対称性があり、群の考え方を有益にしている。 このことから、演算子は古典力学において非常に有用なツールとなる。 量子力学では演算子はさらに重要で、理論の定式化において本質的な部分をなす。 数学では「作用素」という語が使われているものと同じものであるが、以下では物理の観点から述べる（英語では同じ語で operator である）。

古典力学

古典力学では粒子（または粒子系）の運動はラグランジアン${\displaystyle L(q,{\dot {q}},t)}$ やそれと等価であるハミルトニアン ${\displaystyle H(q,p,t)}$によって完全に決定される。これらは一般化座標q、一般化速度${\displaystyle {\dot {q}}=\mathrm {d} q/\mathrm {d} t}$、共役運動量

${\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}}$

についての関数である。

LやHが一般化座標qと無関係であるときは、qが変化してもLやHは変化しない。よってqが変化しても粒子のダイナミクスは変わらないままであり、これらの座標に共役な運動量は保存する。（これはネーターの定理の一例で、座標qについての運動の不変性は対称性となる。）古典力学における演算子は、これらの対称性と関連している。

より専門的には、Hが変換Gの群の作用下で不変であるとき、

${\displaystyle S\in G,H(S(q,p))=H(q,p)}$.

Gの元は物理的な演算子で、物理状態と対応する。

古典力学での演算子一覧

変換	演算子	位置	運動量
並進対称性	${\displaystyle X(\mathbf {a} )}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {a} }$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} }$
時間並進	${\displaystyle U(t_{0})}$	${\displaystyle \mathbf {r} (t)\rightarrow \mathbf {r} (t+t_{0})}$	${\displaystyle \mathbf {p} (t)\rightarrow \mathbf {p} (t+t_{0})}$
回転不変性	${\displaystyle R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {r} }$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {p} }$
ガリレイ変換	${\displaystyle G(\mathbf {v} )}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {v} t}$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} +m\mathbf {v} }$
パリティ	${\displaystyle P}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow -\mathbf {r} }$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} }$
T対称性	${\displaystyle T}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} (-t)}$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} (-t)}$

ここで ${\displaystyle R({\hat {\boldsymbol {n}}},\theta )}$は、単位ベクトル${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {n}}}}$と角度θで定義される回転行列。

量子力学

量子力学において、演算子とは、期待値を求める式、${\displaystyle \langle f(p)\rangle =\int _{}^{}\psi ^{*}(r',t)f({\frac {\hbar }{i}}\nabla )\psi (r,t)d^{3}r}$の時、${\displaystyle {\frac {\hbar }{i}}\nabla }$を、期待値、${\displaystyle \langle f(p)\rangle }$に対応する演算子という。^[1]位置表示した波動関数${\displaystyle \psi (x)}$に対して、位置演算子${\displaystyle {\hat {x}}=x}$、運動量演算子${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar \partial /\partial x}$である（${\displaystyle i}$は虚数単位、${\displaystyle \hbar }$はディラック定数）。 運動量表示した波動関数${\displaystyle \psi (p)}$に対して、運動量演算子${\displaystyle {\hat {p}}=p}$、位置演算子${\displaystyle {\hat {x}}=i\hbar \partial /\partial p}$である。 量子力学における演算子は必ずしも交換しない。たとえば上記の位置演算子と運動量演算子は非可換である：${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]\equiv {\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}}=i\hbar }$（不確定性原理も参照）。