漸近展開

漸近展開（ぜんきんてんかい、英: Asymptotic expansion）とは、与えられた関数を、より簡単な形をした関数列の級数として近似することをいう。テイラー展開は漸近展開の特別な場合であるが、漸近展開で得られた級数の値は、必ずしも元の関数の値に収束するとは言えない。しかし、関数の性質を調べる際、元の関数の形では扱いが難しい場合、漸近展開によって元の関数を級数の形で近似することにより、関数の性質が得られることがある。漸近展開は解析学 (例えば複素解析^[1]や特殊関数に対する数値解析^[2]など) では重要な手法の一つであり、確率論の基礎として用いることがある^[3]。

漸近級数

関数 ${\displaystyle \scriptstyle f(x)\!}$ を定義域が実数の領域で定義された関数とし^{[注釈 1]}、${\displaystyle x_{0}}$ を ${\displaystyle \scriptstyle f(x)\!}$ の定義域内の点とする。

関数列 ${\displaystyle \scriptstyle \{\varphi _{n}(x)\}_{n\geq 0}}$ が次の条件を満たすとき、漸近関数列という。

• ${\displaystyle \varphi _{n+1}(x)=o(\varphi _{n}(x))\ \ \ (x\to x_{0})\ \ \ \ (n=0,\ 1,\ 2,\ldots )}$

実数列 ${\displaystyle \scriptstyle \{a_{n}\}_{n\geq 0}}$ が存在して、任意の正整数 n に対し

${\displaystyle f(x)-\sum _{k=0}^{n}a_{k}\varphi _{k}(x)=o(\varphi _{n}(x))\ \ \ \ \ (x\to x_{0})}$

が成立するとき、

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)}$

を ${\displaystyle \scriptstyle f(x)\!}$ の漸近級数といい、

${\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)}$

と表す。

さらに、漸近級数が次の条件を満たすとき、ポアンカレの意味での漸近級数または狭義の漸近級数という^[4]。

• 任意の正整数 n、${\displaystyle \scriptstyle f(x)\!}$ の定義域内の x に対して

${\displaystyle \left|f(x)-\sum _{k=0}^{n}a_{k}\varphi _{k}(x)\right|<|a_{n+1}\varphi _{n+1}(x)|}$

が成立する。

漸近関数列が ${\displaystyle \scriptstyle \{(x-x_{0})^{n}\}_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle \scriptstyle (|x_{0}|<\infty )}$ または ${\displaystyle \scriptstyle \{x^{-n}\}_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle \scriptstyle (|x_{0}|=\infty )}$ の形の漸近級数を、漸近冪級数という。

与えられた漸近関数列を用いて、${\displaystyle \scriptstyle f(x)\!}$ の漸近級数を得ることを漸近展開といい、 ${\displaystyle \scriptstyle f(x)\!}$ の漸近級数 ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)}$ が存在する場合、 ${\displaystyle \scriptstyle f(x)\!}$ は漸近展開

${\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)}$

を持つという。

性質

一意性

任意の関数 ${\displaystyle \scriptstyle f(x)\!}$ に対して、${\displaystyle \scriptstyle f(x)\!}$ に対する漸近級数は存在しても唯一とは限らない。例えば

• ${\displaystyle 1/(x-1)\sim \sum _{k=1}^{\infty }x^{-k}\ \ \ \ (x\to \infty )}$
• ${\displaystyle 1/(x-1)\sim \sum _{k=1}^{\infty }(x^{2}+x+1)x^{-3k}\ \ \ \ (x\to \infty )}$

しかし、与えられた漸近関数列に対する漸近級数は存在しても唯１つしか存在しない。従って、ある点でテイラー展開された冪級数は、その点での唯一の漸近冪級数である。

さらに、漸近級数の各係数は

${\displaystyle a_{0}=\lim _{x\to x_{0}}f(x),\ \ \ \ \ a_{n}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}\varphi _{k}(x)}{\varphi _{n}(x)}}\ \ \ (n\geq 1)}$

で与えられる。

和と積

点 ${\displaystyle x_{0}}$ の近傍で定義された関数 ${\displaystyle \scriptstyle f(x),\ g(x)}$ は、漸近関数列 ${\displaystyle \scriptstyle \{\varphi _{n}(x)\}_{n\geq 0}}$ に対する漸近展開

${\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)\ \ \ \ \ g(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\varphi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}$

を持つとする。このとき、任意の α、β に対して

${\displaystyle \alpha f(x)+\beta g(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }(\alpha a_{k}+\beta b_{k})\varphi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}$

が成立する。

さらに、漸近関数列が ${\displaystyle \scriptstyle \{\varphi (x)^{n}\}_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle \scriptstyle (\varphi (x)\to \infty \ (x\to x_{0}))}$ である場合、

${\displaystyle f(x)g(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\varphi (x)^{n}\ \ \ (c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k})\ \ \ (x\to x_{0})}$

が成立する。

項別微分

一般に、関数を無限級数で表したとき、項別微分した関数が元の関数を微分したものと一致しない様に、漸近級数も項別微分した級数は、元の関数を微分した関数の漸近展開になるとは限らない。 項別微分した関数が漸近展開したものにあるかは、元の関数や漸近関数列によって決まる。

漸近関数列 ${\displaystyle \scriptstyle \{\varphi _{n}(x)\}_{n\geq 0}}$ は各 n に対して、${\displaystyle x_{0}}$ の近傍で微分可能であり、関数列 ${\displaystyle \scriptstyle \{\varphi '_{n}(x)\}_{n\geq 0}}$ が漸近関数列である場合、以下のことが成立する。

${\displaystyle \scriptstyle f(x)\!}$ は、${\displaystyle x_{0}}$ の近傍で微分可能であり、

${\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}$

となる漸近展開を持ち、${\displaystyle \scriptstyle f'(x)\!}$ が漸近関数列 ${\displaystyle \scriptstyle \{\varphi '_{n}(x)\}_{n\geq 0}}$ を用いて漸近展開することができるのであれば

${\displaystyle f'(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi '_{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}$

が成立する。

項別積分

${\displaystyle \scriptstyle |x_{0}|<\infty }$ とし、${\displaystyle \scriptstyle f(x)\!}$ の漸近展開を

${\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}$

とする。定積分

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\int _{x_{0}}^{x}\varphi _{n}(t)dt}$

が各 n に対して存在するならば、

${\displaystyle F(x)=\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt}$

が存在して、

${\displaystyle F(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\Phi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}$

が成立する。

${\displaystyle \scriptstyle x_{0}=\infty }$ のときは、漸近関数列によっては上式のままではうまくいかない。 例えば、漸近級数が漸近冪級数

${\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{x^{k}}}\ \ \ (x\to \infty )}$

を持つ場合、

${\displaystyle \int _{x}^{\infty }\left(f(t)-a_{0}-{\frac {a_{1}}{t}}\right)dt\sim \sum _{k=2}^{\infty }{\frac {a_{k}}{(k-1)x^{k-1}}}\ \ \ (x\to \infty )}$

とする必要がある。

例

スターリングの公式の一般化

ガンマ関数は

${\displaystyle \Gamma (x+1)\sim {\sqrt {2\pi x}}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x}\left(1+{\frac {1}{12x}}+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \right)\ \ \ (x\to \infty )}$

という漸近展開を持つ。特に、x が正整数のときは階乗の漸近展開を与え、スターリングの公式よりも精密な近似級数になっている^[5]。

合流型超幾何関数

合流型超幾何関数 (en:confluent hypergeometric function):

${\displaystyle _{1}F_{1}(\alpha$ ;\gamma ;z):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{n}}{(\gamma )_{n}\;n!}}z^{n},\quad z\in \mathbb {C} }

は次の漸近展開を持つ^[6][7][8]。

${\displaystyle _{1}F_{1}(\alpha$ ;\gamma ;z)\sim {\frac {\Gamma (\gamma )}{\Gamma (\gamma -\alpha )}}(\exp(-\mathrm {i} \pi )z)^{-\alpha }\left[1+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(\alpha )_{k}(\alpha -\gamma +1)_{k}}{k!}}{\frac {1}{z^{k}}}\right]+{\frac {\Gamma (\gamma )}{\Gamma (\alpha )}}\exp(z)z^{\alpha -\gamma }\left[1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(\gamma -\alpha )_{k}(1-\alpha )_{k}}{k!}}{\frac {1}{z^{k}}}\right],\quad -{\frac {\pi }{2}}<\arg(z)<{\frac {3\pi }{2}},\quad |z|\to \infty .}

${\displaystyle \arg }$は複素数の偏角であり、${\displaystyle (\alpha )_{k}}$はポッホハマー記号^[9]である。

補誤差関数

補誤差関数

${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}dt}$

は、以下の様な漸近展開を持つ^[10]。

${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)\sim {\frac {e^{-x^{2}}}{{\sqrt {\pi }}x}}\left(\ 1-{\frac {1}{2x^{2}}}+{\frac {1\cdot 3}{2^{2}x^{4}}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2^{3}x^{6}}}+\cdots \right)\ \ \ (x\to \infty )}$

指数積分

指数積分

${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=\int _{x}^{\infty }{\frac {e^{x-t}}{t}}dt}$

の漸近展開は、

${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n+1}}}\ \ \ \ (x\to \infty )}$

で与えられる。

ラプラス変換

${\displaystyle \scriptstyle f(x)\!}$ を何回でも微分可能な関数としたとき、${\displaystyle \scriptstyle f(x)\!}$ のラプラス変換

${\displaystyle F(x)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-xt}dt}$

の漸近展開は、

${\displaystyle F(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }f^{(n)}(0){\frac {1}{x^{n+1}}}\ \ \ \ (x\to \infty )}$

で与えられる。

微分方程式の解

微分方程式

${\displaystyle x^{2}y''+(3x+1)y'+y=0\!}$

の解は

${\displaystyle y(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{1+xt}}dt}$

で与えられ、

${\displaystyle y(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}n!x^{n}\ \ \ \ (x\to 0)}$ 。

という漸近展開を持つ。しかし、上式の右辺は任意の ${\displaystyle \scriptstyle x\neq 0}$ で収束しないが^{[注釈 2]}、右辺の級数は上記の微分方程式を満たす。

求積法等で厳密解を求めることが出来ない微分方程式に関しても、漸近展開によって近似解を得られる場合があり、これにより解の挙動を調べることができる。

調和級数

調和級数は

${\displaystyle H_{n}\sim \ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}}=\ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\cdots ,}$

という漸近展開を持つ^[11]。ここで、${\displaystyle \gamma }$はオイラー・マスケローニ定数、${\displaystyle B_{k}}$はベルヌーイ数である。