トップQs
タイムライン
チャット
視点
ヤングの畳み込み不等式
ウィキペディアから
Remove ads
数学におけるヤングの畳み込み不等式(ヤングのたたみこみふとうしき、英: Young's convolution inequality)は、ウィリアム・ヘンリー・ヤングに名を因む、ふたつの函数の畳み込みに関する不等式である[1]。
定理の主張
要約
視点
実解析において、ヤングの畳み込み不等式[2](Theorem 3.9.4)は以下のようなものである:
- 定理 (Young's convolution inequality)
- f ∈ Lp(ℝd), g ∈ Lq(ℝd) で が満たされるならば、不等式 が成り立つ。ここに、左辺の ∗ は畳み込みで、Lp はルベーグ p-乗可積分函数の空間および は Lp-ノルムである。
おなじことだが、以下のように述べることもできる:
- p, q, r ≥ 1 が を満たすならば が成り立つ。
- 一般化
- ヤングの畳み込み不等式は、ℝd を単模群 G に取り換えた自然な一般化ができる。G 上の両側ハール測度を μ とすれば μ に関する積分が定義できて、G 上の実または複素数値函数 f, g に対して および と定めれば、f ∈ Lp(G, μ), g ∈ Lq(G, μ) に対して、件の不等式 はそのままの形で成り立つ(もちろん、 とも書ける)。
- 事実として、ℝd は局所コンパクトアーベル群、したがって単模であり、ルベーグ測度がそのハール測度を与えるから、事実これは先の不等式を一般化するものである。
Remove ads
より厳密な評価
p, q > 1 の場合、ヤングの不等式はより強く、適当な定数 cp,q < 1 を含む の形のより厳密な評価にすることができる[3][4][5]。この最適化定数が達成されるとき、函数 f, g は高次元ガウス函数 である。
Remove ads
証明
要約
視点
最適化定数 1 のヤングの不等式には、初等的な証明がある[6]。
位相群の不変積分版の証明を以下に示す:
Remove ads
応用
ヤングの不等式の応用の一つの例が、L2-ノルムを用いて 熱半群が縮小半群である(つまり、ヴァイヤシュトラス変換が L2-ノルムを大きくしない)ことを示すことである。
脚注
外部リンク
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads