トップQs
タイムライン
チャット
視点

ヤングの畳み込み不等式

ウィキペディアから

Remove ads

数学におけるヤングの畳み込み不等式(ヤングのたたみこみふとうしき、: Young's convolution inequality)は、ウィリアム・ヘンリー・ヤングに名を因む、ふたつの函数の畳み込みに関する不等式である[1]

定理の主張

要約
視点

実解析において、ヤングの畳み込み不等式[2](Theorem 3.9.4)は以下のようなものである:

定理 (Young's convolution inequality)
fLp(d), gLq(d) が満たされるならば、不等式 が成り立つ。ここに、左辺の 畳み込みで、Lpルベーグ p-乗可積分函数の空間および Lp-ノルムである。

おなじことだが、以下のように述べることもできる:

p, q, r 1 を満たすならば が成り立つ。
一般化
ヤングの畳み込み不等式は、d単模群 G に取り換えた自然な一般化ができる。G 上の両側ハール測度μ とすれば μ に関する積分が定義できて、G 上のまたは複素数値函数 f, g に対して および と定めれば、fLp(G, μ), gLq(G, μ) に対して、件の不等式 はそのままの形で成り立つ(もちろん、 とも書ける)。
事実として、d局所コンパクトアーベル群、したがって単模であり、ルベーグ測度がそのハール測度を与えるから、事実これは先の不等式を一般化するものである。
Remove ads

より厳密な評価

p, q > 1 の場合、ヤングの不等式はより強く、適当な定数 cp,q < 1 を含む の形のより厳密な評価にすることができる[3][4][5]。この最適化定数が達成されるとき、函数 f, g高次元ガウス函数英語版 である。

Remove ads

証明

要約
視点

最適化定数 1 のヤングの不等式には、初等的な証明がある[6]

位相群の不変積分版の証明を以下に示す:

Remove ads

応用

ヤングの不等式の応用の一つの例が、L2-ノルムを用いて 熱半群英語版縮小半群である(つまり、ヴァイヤシュトラス変換が L2-ノルムを大きくしない)ことを示すことである。

脚注

外部リンク

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads