第2種ベータ分布

第2種ベータ分布（だい2しゅベータぶんぷ、英: beta prime distribution, beta distribution of the second kind）とは、第1種ベータ分布に従う確率変数 X に対して、X/1 − X の従う連続確率分布分布のことである。その確率密度関数は以下で与えられる。

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {x^{\alpha -1}(1+x)^{-\alpha -\beta }}{B(\alpha ,\beta )}}}$

第2種ベータ分布

確率密度関数
累積分布関数
母数	${\displaystyle \alpha >0}$ 形状母数 (実数) ${\displaystyle \beta >0}$ 形状母数 (実数)
台	${\displaystyle x\in (0,\infty )}$
確率密度関数	${\displaystyle f(x)={\frac {x^{\alpha -1}(1+x)^{-\alpha -\beta }}{B(\alpha ,\beta )}}}$ ${\displaystyle B(a,b)}$ はベータ関数
累積分布関数	${\displaystyle I_{{\frac {x}{1+x}}(\alpha ,\beta )}}$ ${\displaystyle I_{z}(a,b)}$ は正則化された不完全ベータ関数
期待値	${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta -1}}{\text{ if }}\beta >1}$
最頻値	${\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\beta +1}}{\text{ if }}\alpha \geq 1{\text{, 0 otherwise}}}$
分散	${\displaystyle {\frac {\alpha (\alpha +\beta -1)}{(\beta -2)(\beta -1)^{2}}}{\text{ if }}\beta >2}$
歪度	${\displaystyle {\frac {2(2\alpha +\beta -1)}{\beta -3}}{\sqrt {\frac {\beta -2}{\alpha (\alpha +\beta -1)}}}{\text{ if }}\beta >3}$
モーメント母関数	${\displaystyle {\frac {e^{-t}\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\beta )}}G_{1,2}^{\,2,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha +\beta \\\beta ,0\end{matrix}}\;\right|\,-t\right)}$ ${\displaystyle \Gamma (z)}$ はガンマ関数 ${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}{\Bigl (}{}_{\,b_{1},\ldots ,b_{q}}^{a_{1},\ldots ,a_{p}}\,{\Big |}\,z{\Bigr )}}$ はマイヤーのG関数（英語版）
フィッシャー情報量	{{{フィッシャー情報量}}}

ここで、α と β は正実数のパラメータであり、確率変数 x のとる値の範囲は正実数全体である。

一般化第2種ベータ分布

ともに正実数の形状パラメータ p とスケールパラメータ q を加えて一般化した、下記の確率密度関数で与えられる分布を一般化第2種ベータ分布（英: generalized beta prime distribution）という。

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,p,q)={\frac {p\left({\frac {x}{q}}\right)^{\alpha p-1}\left(1+\left({\frac {x}{q}}\right)^{p}\right)^{-\alpha -\beta }}{qB(\alpha ,\beta )}}}$

参考文献

• 蓑谷千凰彦、統計分布ハンドブック、朝倉書店 (2003).
• B. S. Everitt（清水良一訳）、統計科学辞典、朝倉書店 (2002).

関連項目

• 確率分布
• ベータ分布
• ベータ関数
• 不完全ベータ関数