等弾力的関数

この項目では、一般的な等弾力的関数について説明しています。効用関数が等弾力的である場合については「等弾力的効用関数」をご覧ください。

等弾力的関数（とうだんりょくてきかんすう、英: Isoelastic function）とは、需要の価格弾力性が一定である関数のこと。弾力性とは、従属変数の変化率を独立変数の変化率で割った比率であり、その変化がゼロに近づく極限で定義される。

弾力性係数を ${\displaystyle r}$ （任意の実数値をとり得る）とすると、この関数の一般形は次の通りである。

${\displaystyle f(x)=kx^{r},}$

ここで ${\displaystyle k}$ と ${\displaystyle r}$ は定数である。弾力性は次のように定義される。

${\displaystyle {\text{elasticity}}={\frac {df(x)}{dx}}\cdot {\frac {x}{f(x)}}={\frac {d\ln f(x)}{d\ln x}},}$

この関数においては単に r に等しい。

導出

需要の弾力性は以下で表される。

${\displaystyle r={\frac {dQ}{dP}}\cdot {\frac {P}{Q}},}$

ここで r は弾力性、Q は数量、P は価格である。

これを変形すると、

${\displaystyle {\frac {r}{P}}dP={\frac {1}{Q}}dQ}$

これを積分すると、

${\displaystyle \int {\frac {r}{P}}dP=\int {\frac {1}{Q}}dQ}$

${\displaystyle r\ln(P)+C=\ln(Q)}$

簡略化して、

${\displaystyle e^{\ln(P)r+C}=e^{\ln(Q)}}$

${\displaystyle (e^{\ln(P)})^{r}e^{C}=Q}$

${\displaystyle kP^{r}=Q}$

${\displaystyle Q(P)=kP^{r}}$

例

需要関数

ミクロ経済学における例としては、一定弾力性需要曲線が挙げられる。この場合、p は財の価格、D(p) は消費者の需要量を表す。多くの財について、弾力性 r は負である（価格が上がれば需要量が減るため）。そのため、係数 ${\displaystyle r}$ を正の値として解釈できるように、指数にマイナス符号をつけて需要関数を表すことが便利である。

${\displaystyle D(p)=kp^{-r},}$

ここで ${\displaystyle r>0}$ は応答の大きさを示す絶対値として解釈される。供給曲線についても同様の関数が存在する。^[1]

危険回避下の効用関数

等弾力性関数はまた、危険回避下の選択理論においても用いられる。この理論では、危険回避的な意思決定者は、フォン・ノイマン＝モルゲンシュテルン効用関数が凹関数であると仮定して、その期待値を最大化するとされる。この文脈において、効用が（たとえば）富に関して一定の弾力性を持つ場合、ポートフォリオにおける株式の比率などの最適決定は、意思決定者の富の規模に依存しない。

この場合の一定弾力性効用関数は、一般に次のように表される。

${\displaystyle U(x)={\frac {1}{1-\gamma }}x^{1-\gamma }}$

ここで x は富、${\displaystyle 1-\gamma }$ は弾力性を示し、${\displaystyle \gamma >0}$、かつ ${\displaystyle \gamma \neq 1}$ が一定の相対的危険回避度係数を表す（${\displaystyle \gamma \to \infty }$ で危険回避度は無限大に近づく）。

関連項目

• CES型関数
• 冪乗関数