線型リー環

代数学において，線型リー環（せんけいリーかん，英: linear Lie algebra）とは，ベクトル空間 V の自己準同型全体からなるリー環 ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$ の部分リー環である^[要出典]．言い換えると，線型リー環はリー環の表現の像である．

任意のリー環は，その忠実表現が必ず存在するという意味で，線型リー環である．（実は，リー環自身が有限次元であるときには，アドの定理（英語版）によって，有限次元ベクトル空間上の忠実表現をもつ．）

V を標数 0 の体上の有限次元ベクトル空間とし，${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ を ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$ の部分環とする．このとき V が ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 上の加群として半単純であることと，(i) それが中心と半単純イデアルの直和であり，(ii) 中心の元が（ある拡大体上）対角化可能であることと同値である^[1]．