群の位数に関する積の法則

この項目では、群論について説明しています。その他の「積の法則」については「積の法則」をご覧ください。

数学の群論における積の法則（せきのほうそく、英: product formula, 仏: formule du produit^{[注 1]}; 積の公式）は、任意に与えられた二つの部分群およびそれらから作られる積（英語版）および交叉という四つの集合^{[注 2]}の位数（集合の濃度）の関係を記述するものである。

第二同型定理 SN/N ≅ S/(S ∩ N) を表す平行四辺形図式: S が部分群、N が正規部分群ならば、積 SK と交叉 S ∩ N はともに部分群となり、準同型定理から所期の同型が導かれる（位数についてみれば、積の法則の成立がわかる）。^{[注 3]}

定理の主張

→「第二同型定理」および「部分群の積（英語版）」も参照

H, K は群 G の部分群とし、部分群の積（英語版） HK は hk (h ∈ H, k ∈ K) の形の G の元全体の成す集合を表す。また H, K, H ∩ K の位数をそれぞれ |H|, |K|, |H ∩ K| とするとき、これらと HK の位数 HK との間に、積の法則と呼ばれる関係式 $${\displaystyle {\mathopen {|}}HK{\mathclose {|}}\cdot {\mathopen {|}}H\cap K{\mathclose {|}}={\mathopen {|}}H{\mathclose {|}}\cdot {\mathopen {|}}K{\mathclose {|}}\qquad (\iff {\mathopen {|}}HK{\mathclose {|}}/{\mathopen {|}}K{\mathclose {|}}={\mathopen {|}}H{\mathclose {|}}/{\mathopen {|}}H\cap K{\mathclose {|}})}$$が成り立つ^[1]。

初等的な数え上げ問題として、羊飼いの補題 (lemme des bergers) に基づく証明を以下のように与えることができる:

写像 $${\displaystyle f\colon H\times K\to HK;\;(h,k)\mapsto hk}$$ を考える。y を HK の元とすれば、y は適当な h ∈ H, k ∈ K を用いて y = hk の形をしている。f(h′, k′) = y を満たす (h′, k′) ∈ H × K の全体からなる集合の位数を計算しよう。まず、そのような (h′, k′) ∈ H × K は h′k′ = hk(= y) を満たすから、変形して h⁻¹h′ = kk′⁻¹ となることに注意する。したがって適当な i ∈ H ∩ K が存在して（なんとなれば i = h⁻¹h′ と書けば）h′ = hi かつ k′ = i⁻¹k となる。これにより、f(h′, k′) = y を満たす (h′, k′) ∈ H × K が (hi, i⁻¹k) (i ∈ H ∩ K) の形に書ける H × K の元にほかならないことは容易に確かめられ、そのような元全体の成す集合の位数が |H ∩ K| であることが分かる。

H × K の G への作用を、各対 (h,k) は h を左から、k^-1 を右から掛けるものとして定めれば、この作用に関する単位元の軌道に対する 軌道–固定群の関係式あるいはバーンサイドの補題の応用として所期の積の法則を得ることもできる。

一般化

任意の g ∈ G に対し、その属する両側剰余類（英語版）を HgK と書く（これはすなわち、hgk (h ∈ H, k ∈ K) の形の元全体の成す集合である）とき、関係式$${\displaystyle {\mathopen {|}}H\cap (gKg^{-1}){\mathclose {|}}\cdot {\mathopen {|}}HgK{\mathclose {|}}={\mathopen {|}}H{\mathclose {|}}\cdot {\mathopen {|}}K{\mathclose {|}}={\mathopen {|}}HgK{\mathclose {|}}\cdot {\mathopen {|}}(g^{-1}Hg)\cap K{\mathclose {|}}}$$が成立する^{[注 4]}。無限群の場合は、部分群の指数を用いて、より強い形の $${\displaystyle [H:H\cap (gKg^{-1})]\cdot {\mathopen {|}}K{\mathclose {|}}={\mathopen {|}}HgK{\mathclose {|}}={\mathopen {|}}H{\mathclose {|}}\cdot [K:(g^{-1}Hg)\cap K]}$$が成り立つ^{[注 5]}。