自己記述数

自己記述数（じこきじゅつすう、self-descriptive number）とは、以下の条件を満たす整数 m のことである。

• m の桁数 b が、m の基数を示す。
• 先頭の桁を0桁目としたとき、m の全ての n 桁目の数字 d が、m における数字 n の個数を示す。

例

基数10において、6210001000は以下の理由で自己記述数である。

• 桁数10が、その基数10を示している。
• 0桁目の数字6が、6210001000の中に数字0が6個あることを示している。
• 1桁目の数字2が、6210001000の中に数字1が2個あることを示している。
• 2桁目の数字1が、6210001000の中に数字2が1個あることを示している。
• 3桁目の数字0が、6210001000の中に数字3が0個あることを示している。
• 4桁目の数字0が、6210001000の中に数字4が0個あることを示している。
• 5桁目の数字0が、6210001000の中に数字5が0個あることを示している。
• 6桁目の数字1が、6210001000の中に数字6が1個あることを示している。
• 7桁目の数字0が、6210001000の中に数字7が0個あることを示している。
• 8桁目の数字0が、6210001000の中に数字8が0個あることを示している。
• 9桁目の数字0が、6210001000の中に数字9が0個あることを示している。

他の基数における自己記述数

基数1, 2, 3, 6には自己記述数が存在しない。7以上の基数では、少なくとも以下の形式の自己記述数が必ず存在する。

${\displaystyle (b-4)b^{b-1}+2b^{b-2}+b^{b-3}+b^{3}}$

この数は、0桁目の数字が b − 4 、1桁目の数字が 2、2桁目の数字が 1、b − 4 桁目の数字が 1、それ以外の桁の数字が 0 となる。

以下に、各基数における自己記述数を示す。

基数	自己記述数 （オンライン整数列大辞典の数列 A138480）	基数10での値 （オンライン整数列大辞典の数列 A108551）
1	なし
2	なし
3	なし
4	1210, 2020	100, 136
5	21200	1425
6	なし
7	3211000	389305
8	42101000	8946176
9	521001000	225331713
10	6210001000	6210001000
11	72100001000	186492227801
12	821000001000	6073061476032
13	9210000001000	213404945384449
14	A2100000001000	8054585122464440
15	B21000000001000	325144322753909625
16	C210000000001000	13983676842985394176
...	...	...
36	W21000...0001000 （省略部には23桁の 0 がある）	約 2.14349×1053
...	...	...

特性

上の表に記載されている数字からは、全ての自己記述数は全ての桁の数字の合計（数字和）が基数と一致する、また、全ての自己記述数は基数の倍数であるように見える。1つ目の事象については、自己記述数の定義より、全ての桁の数字の合計は桁数と一致し、桁数は基数を表しているということから自明である。

基数bの自己記述数が必ずその基数の倍数である（あるいは、自己記述数の最後の桁の数字が必ず0である）ことは、次のように証明できる。

• 基数bの自己記述数mが、桁数はb桁だがbの倍数ではない（最後の桁の数字が0ではない）と仮定する。
• この場合、b − 1 桁目（最後の桁）の数字は少くとも1となる。これは、mに数字 b − 1 が少なくとも1つは存在することを意味する。
• 数字 b − 1 がx桁目にあるとした場合、m の中に数字 x が b − 1 個存在しなければならない。
• 従って、m には少くとも1の数字が1個、数字 x が少なくとも b − 1 個あることになる。ここで、x > 1 の場合、m の桁数が b を超えるので、最初の仮定と矛盾している。また、x = 0 または 1 の場合も矛盾が生じる。

基数bの自己記述数は、基数bのハーシャッド数である。

出典

• Clifford Pickover, Keys to Infinity, Chapter 28, "Chaos in Ontario." New York: Wiley, pp. 217–219, 1995.
• Weisstein, Eric W. “Self-Descriptive Number”. mathworld.wolfram.com (英語).
• Sloane, N.J.A. (ed.). “Sequence A108551 (Self-descriptive numbers in various bases)”. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 2021年4月5日閲覧.
• Sloane, N.J.A. (ed.). “Sequence A046043 (Autobiographical numbers)”. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 2021年4月5日閲覧.
• Autobiographical Numbers, http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=881