論理積の消去

論理積の消去(ろんりせきのしょうきょ、英: Conjunction elimination)(論理積の除去、連言除去則、${\displaystyle \land }$-除去則^[1][2][3][4]は、命題論理における妥当性のある推論規則のひとつである。もし、「PかつQ」とい命題が真であれば、「P」という命題が真であり、同時に「Q」という命題も真であることを指す。この規則を用いることによって、論理積(「かつ」、「${\displaystyle \land }$」)で結び付けられた命題の片方を抽出することができる。例えば、「雨が降っており、土砂降りである」という命題が真であれば、「雨が降っている」という命題は真である。この規則は、下記のように、

${\displaystyle {\frac {P\land Q}{\therefore P}}}$

および、

${\displaystyle {\frac {P\land Q}{\therefore Q}}}$

の２つの記述をすることができる。ここで、命題「${\displaystyle P\land Q}$」が証明のなかのどの行に出てきても、その後の行において、命題「${\displaystyle P}$」もしくは命題「${\displaystyle Q}$」を示すことができるものとされている。

形式的な記法

論理積の消去の推論規則は、シークエント記法では、

${\displaystyle (P\land Q)\vdash P}$

および、

${\displaystyle (P\land Q)\vdash Q}$

と表すことができる。ここで、「${\displaystyle \vdash }$」は、ある論理の形式体系において、命題「${\displaystyle P}$」が「${\displaystyle P\land Q}$」の論理的帰結であり、命題「${\displaystyle Q}$」もまた「${\displaystyle P\land Q}$」の論理的帰結であることを表す、メタ言語の記号である。

この推論規則はまた、命題論理における真理関数のトートロジーもしくは定理として、

${\displaystyle (P\land Q)\to P}$

および、

${\displaystyle (P\land Q)\to Q}$

と表される。