逆正弦分布

逆正弦分布 (ぎゃくせいげんぶんぷ、英語: Arcsine distribution)は、確率論における確率分布の一種。特に、累積分布関数が逆正弦関数と平方根で特徴付けられる以下の形をもつものを指す:

${\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {\frac {x-a}{b-a}}}\right)}$

逆正弦分布

確率密度関数 標準逆正弦分布の確率密度関数。
累積分布関数 標準逆正弦分布の累積分布関数。
母数	${\displaystyle -\infty <a<b<\infty }$
台	${\displaystyle x\in (a,b)}$
確率密度関数	${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {(x-a)(b-x)}}}}}$
累積分布関数	${\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {\frac {x-a}{b-a}}}\right)}$
期待値	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}$
中央値	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}$
最頻値	${\displaystyle x\in \{a,b\}}$
分散	${\displaystyle {\tfrac {1}{8}}(b-a)^{2}}$
歪度	${\displaystyle 0}$
超過尖度	${\displaystyle -{\frac {3}{2}}}$
特性関数	${\displaystyle \exp \left(i{\frac {b+a}{2}}t\right)J_{0}\left({\frac {b-a}{2}}t\right)}$ ただし${\displaystyle J_{0}(x)}$は第1種ベッセル関数

ここで、 ${\displaystyle a<b}$ は実数である。また、${\displaystyle x\in (a,b)}$での確率密度関数は

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {(x-a)(b-x)}}}}}$

で与えられる。

逆正弦分布はウィーナー過程における逆正弦則（英語版）などのランダムウォークにおける本質的な性質を記述する。^[1]

標準逆正弦分布

母数として特に ${\displaystyle a=0,b=1}$ を選択した場合の逆正弦分布は標準逆正弦分布と呼ばれる。その確率密度関数は

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}}$

で与えられ、累積分布関数は

${\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {x}}\right)}$

となる。これはベータ分布の特別な場合であり、実際ベータ分布で${\displaystyle \alpha =\beta ={\frac {1}{2}}}$と母数を選択すると標準逆正弦分布と同一の確率密度関数を持つようになる。

性質

• 確率変数 ${\displaystyle X}$ が母数 ${\displaystyle (a,b)}$ を持つ逆正弦分布に従うとき、実数 ${\displaystyle c,k>0}$ によって変換された確率変数 ${\displaystyle kX+c}$ は母数 ${\displaystyle (ak+c,bk+c)}$ を持つ逆正弦分布に従う。
• 確率変数 ${\displaystyle X}$ が母数 ${\displaystyle (-1,1)}$ を持つ逆正弦分布に従うとき、確率変数 ${\displaystyle X^{2}}$ は母数 ${\displaystyle (0,1)}$ を持つ逆正弦分布に従う。
• 原点を中心とする半径 ${\displaystyle r}$ の円周上連続一様分布する点の ${\displaystyle x}$ 座標や ${\displaystyle y}$ 座標は、母数 ${\displaystyle (-r,r)}$ の逆正弦分布に従う。

特性関数

逆正弦分布の特性関数は、

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {\exp(itx)}{\pi {\sqrt {(x-a)(b-x)}}}}dx}$

により定義される。この積分は${\displaystyle {\sqrt {\frac {x-a}{b-x}}}=\tan \theta }$ なる変数変換とベッセル関数におけるHansenの積分表示

${\displaystyle J_{\nu }(z)={\frac {1}{\pi i^{\nu }}}\int _{0}^{\pi }\exp(iz\cos \theta )\cos(\nu \theta )d\theta }$

を組み合わせることで解析的に与えることができ、その結果は

${\displaystyle \exp \left(i{\frac {b+a}{2}}t\right)J_{0}\left({\frac {b-a}{2}}t\right)}$

となる。特に、 ${\displaystyle b=-a}$ の場合の特性関数は指数関数部分のない簡単な形${\displaystyle J_{0}(at)=J_{0}(bt)}$となる。