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逆関係

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数学における二項関係逆関係(ぎゃくかんけい、: converse relation)は、関係(のグラフ)に属する順序対の成分を逆順にして得られる関係である。例えば、「~の子である」という関係の逆関係は「~の親である」という関係である。

定義

厳密に言えば、L X × YX から Y への関係とするとき、その逆関係 L1

y L1 x x L y

によって定まる関係をいう (Halmos 1975, p. 40)。これは

とも書ける。逆関係 L1 などと書く記法は逆写像の記法の流用である。写像はその多くが逆写像を持たないのに対し、関係は必ず逆関係を持つ。 ただし、このような記法を用いているにもかかわらず、逆関係は関係の合成の意味での逆元にはなっていない、つまり一般には

であることに注意しなければならない。

逆関係は反対関係 (inverse relation) や(ダガー圏のよく知られた例として、転置行列と同様のものとして見て)(もとの関係の-)転置 (transpose) とも呼ばれ、Lc, LT, L, L˘ などとも書かれる。

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性質

  • 自分自身を逆関係として持つ関係は対称関係ダガー圏英語版 の言葉で言えば、自己随伴 (self-adjoint))である。
  • 関係が反射的非反射的対称的反対称的非対称的推移的完全三分的半順序全順序狭義弱順序全前順序(弱順序)、同値関係であるという性質は、逆関係に遺伝する。
  • 関係が拡張可能でも、その逆関係は必ずしも拡張可能ではない。
  • 関係をその逆関係に写す操作は、関係の圏 Relダガー圏の構造を与える。
  • 集合 X 上の二項関係全体の成す集合 B(X) は、関係を逆関係に写す操作を対合とする対合半群を成す。

通常の順序関係(狭義の順序でも半順序でもよい)の逆関係は、反対順序で与えられる。例えば

などとなる(ここでの括弧は明確化のためのもので必ずしも必要ではない)。

裏(inverses)

要約
視点

恒等関係をとおいた時、関係に対して、関係の合成にて ならばを右側裏関係といい、 ならばを左側裏関係という。また、に右(左)側裏関係が存在するときは右(左)に可逆な関係であるという。右に可逆かつ左に可逆であれば単に可逆あるいは両側可逆という。左に可逆ならば左全域的でなければならないし、右に可逆ならば右一意的でなければならない。ただしここでは関係の合成を、写像の合成の慣例に従った順で定義しているものとする。

写像の逆関係

写像が(写像として)可逆であるための必要十分条件は、写像の逆関係が再び写像となることである。この逆関係こそが逆写像である。

写像 f: X Y の逆関係 f1: Y X

で定義される。これは必ずしも写像でなくてもよいが、f が単射であることを課さなければ f1多価になってしまう。この条件は f1部分写像であるためには十分であり、さらにこのとき f1 が(全域)写像となるための必要十分条件が f全射(したがって全単射)となることであるのは明らかである。f全単射であるとき、f1f逆写像と呼ばれる。

当然、の逆写像は との合成で恒等写像すなわち恒等関係を導くので、 を関係とみなせばはその裏関係である。

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関連項目

注釈

    参考文献

    • Halmos, Paul R. (1974), Naive Set Theory, ISBN 978-0-387-90092-6
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