重心の一覧

重心の一覧（じゅうしんのいちらん）を記述する。

幾何学における重心とは、図形内における1次のモーメントの総和が0になる点である。これは、力学において均一な密度を持つ物体の重心と一致する。

一般的な重心の位置

• 図形が点対称の場合、重心は対称の中心と一致する。
• 図形が線対称の場合、重心は対称軸上にある。複数の対称軸を持つ場合、重心はそれらの交点となる。
• 2つの図形をつないだ図形の重心は、元の2つの図の重心を通る直線上にある。

平面図形の重心

形	図	${\displaystyle {\bar {x}}}$	${\displaystyle {\bar {y}}}$	面積
直角三角形		${\displaystyle {\frac {-b}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {h}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {bh}{2}}}$
四分円		${\displaystyle {\frac {4r}{3\pi }}}$	${\displaystyle {\frac {4r}{3\pi }}}$	${\displaystyle {\frac {\pi r^{2}}{4}}}$
半円	半径 ${\displaystyle r}$ を持ち原点を中心とする円の、${\displaystyle \,\!x}$軸より上の領域	${\displaystyle \,\!0}$	${\displaystyle {\frac {4r}{3\pi }}}$	${\displaystyle {\frac {\pi r^{2}}{2}}}$
楕円の4分の1	楕円 ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ のうち、第1象限にある領域	${\displaystyle {\frac {4a}{3\pi }}}$	${\displaystyle {\frac {4b}{3\pi }}}$	${\displaystyle {\frac {\pi ab}{4}}}$
楕円の半分		${\displaystyle \,\!0}$	${\displaystyle {\frac {4b}{3\pi }}}$	${\displaystyle {\frac {\pi ab}{2}}}$
放物線の半分に囲まれた領域	放物線${\displaystyle y={\frac {h}{b^{2}}}x^{2}}$ と ${\displaystyle \,\!y}$軸、直線${\displaystyle \,\!y=h}$ で囲まれた領域	${\displaystyle {\frac {3b}{8}}}$	${\displaystyle {\frac {3h}{5}}}$	${\displaystyle {\frac {2bh}{3}}}$
放物線	放物線${\displaystyle \,\!y={\frac {h}{b^{2}}}x^{2}}$ と 直線${\displaystyle \,\!y=h}$ で囲まれた領域	${\displaystyle \,\!0}$	${\displaystyle {\frac {3h}{5}}}$	${\displaystyle {\frac {4bh}{3}}}$
放物線の下部	放物線${\displaystyle \,\!y={\frac {h}{b^{2}}}x^{2}}$ と ${\displaystyle \,\!x}$軸、直線${\displaystyle \,\!x=b}$ で囲まれた領域	${\displaystyle {\frac {3b}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {3h}{10}}}$	${\displaystyle {\frac {bh}{3}}}$
曲線の下部	曲線${\displaystyle y={\frac {h}{b^{n}}}x^{n}}$ と ${\displaystyle \,\!x}$軸、直線${\displaystyle \,\!x=b}$ で囲まれた領域	${\displaystyle {\frac {n+1}{n+2}}b}$	${\displaystyle {\frac {n+1}{4n+2}}h}$	${\displaystyle {\frac {bh}{n+1}}}$
扇形	（極座標表記で）${\displaystyle \,\!\theta =-\alpha }$ から ${\displaystyle \,\!\theta =\alpha }$ の範囲内の 弧${\displaystyle \,\!r=\rho }$ と 弧の両端と原点を結ぶ直線で囲まれた範囲	${\displaystyle {\frac {2\rho \sin(\alpha )}{3\alpha }}}$	${\displaystyle \,\!0}$	${\displaystyle \,\!\alpha \rho ^{2}}$
弓形		${\displaystyle \,\!0}$	${\displaystyle {\frac {4R\sin ^{3}{\frac {\theta }{2}}}{3(\theta -\sin {\theta })}}}$	${\displaystyle {\frac {R^{2}}{2}}(\theta -\sin {\theta })}$
四分円の弧	${\displaystyle \,\!x^{2}+y^{2}=r^{2}}$ を満たす点のうち、第1象限にある部分	${\displaystyle {\frac {2r}{\pi }}}$	${\displaystyle {\frac {2r}{\pi }}}$	${\displaystyle {\frac {\pi r}{2}}}$
半円の弧	${\displaystyle \,\!x^{2}+y^{2}=r^{2}}$ を満たす点のうち ${\displaystyle \,\!x}$軸の上にある部分	${\displaystyle \,\!0}$	${\displaystyle {\frac {2r}{\pi }}}$	${\displaystyle \,\!\pi r}$
円弧	（極座標表記で） ${\displaystyle \,\!r=\rho }$ かつ ${\displaystyle \,\!\theta =-\alpha }$ から ${\displaystyle \,\!\theta =\alpha }$ の範囲にある部分	${\displaystyle {\frac {\rho \sin(\alpha )}{\alpha }}}$	${\displaystyle \,\!0}$	${\displaystyle \,\!2\alpha \rho }$

立体図形の重心

外部リンク

• http://www.engineering.com/Library/ArticlesPage/tabid/85/articleType/ArticleView/articleId/109/Centroids-of-Common-Shapes.aspx
• http://www.efunda.com/math/areas/IndexArea.cfm