重調和方程式

数学における重調和方程式（英: biharmonic equation）とは、次のように書かれる 4 階の偏微分方程式である：

${\displaystyle \nabla ^{4}\varphi =\nabla ^{2}\nabla ^{2}\varphi =\Delta ^{2}\varphi =0.}$

ここで ∇⁴ は 4 階の偏微分作用素、またはラプラス作用素 Δ の自乗で、重調和作用素 (biharmonic operator) として知られている。

例えば、3次元デカルト座標系では重調和方程式は次の形になる。

${\displaystyle {\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{4}}+{\partial ^{4}\varphi \over \partial y^{4}}+{\partial ^{4}\varphi \over \partial z^{4}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{2}\partial y^{2}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial y^{2}\partial z^{2}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{2}\partial z^{2}}=0.}$

重調和方程式の解は重調和関数 (biharmonic function) と呼ばれる。どんな調和関数も重調和であるが、逆は真ではない。

重調和方程式は連続体力学の分野（線型弾性理論における応力関数や流体力学におけるストークス流れの解など）において現れる。

2次元空間

2次元の場合の一般解は

${\displaystyle xv(x,y)-yu(x,y)+w(x,y)}$

ここで ${\displaystyle u(x,y),v(x,y),w(x,y)}$ は調和関数で ${\displaystyle v(x,y)}$ は ${\displaystyle u(x,y)}$ の調和共役である。

2変数の調和関数は複素解析関数と深く関わりを持つが、2変数の重調和関数についても同じことが言える。2変数の重調和関数の一般形は次のように書ける：

${\displaystyle \operatorname {Im} ({\bar {z}}f(z)+g(z))}$

ここで ${\displaystyle f(z)}$ と ${\displaystyle g(z)}$ は解析関数である。

2次元の極座標系では、重調和方程式は

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial \varphi }{\partial r}}\right)\right)\right)+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial \theta ^{2}\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial \theta ^{4}}}-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {\partial ^{3}\varphi }{\partial \theta ^{2}\partial r}}+{\frac {4}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \theta ^{2}}}=0}$

となる。これは変数分離法によって解ける。その結果はミッシェル解（英語版）と呼ばれる。

例

n 次元ユークリッド空間において、

${\displaystyle \nabla ^{4}\left({1 \over r}\right)={3(15-8n+n^{2}) \over r^{5}}}$

ただし

${\displaystyle r={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}}$

は、n = 3, 5 のときのみ、重調和方程式となる。

参考文献

• Weisstein, Eric W. (2002), CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, CRC Press, ISBN 1-58488-347-2.
• Hayek, S.I. (2000), Advanced Mathematical Methods in Science and Engineering, Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0466-5.
• Den Hartog, J. P. (July 1st, 1987). Advanced Strength of Materials. Courier Dover Publications. ISBN 0-486-65407-9.

関連項目

• 調和関数
• ラプラス作用素

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Biharmonic Equation". mathworld.wolfram.com (英語).
• Weisstein, Eric W. "Biharmonic Operator". mathworld.wolfram.com (英語).