10の平方根

10の平方根（じゅうのへいほうこん）は、平方して 10 になる実数である。正のものと負のものの2つがある。正の平方根は

${\displaystyle {\sqrt {10}}}$

直角を挟む2辺の長さが1,3の直角三角形の斜辺の長さは${\displaystyle {\sqrt {10}}}$である。

と書き、「ルート10」と読む。また、負の平方根は

${\displaystyle -{\sqrt {10}}}$

である。以下、正の平方根について記述する。

${\displaystyle {\sqrt {10}}}$は無理数であり、小数表示は

3.16227 76601 68379 33199 88935 44432 71853 37195…

である^[1]（オンライン整数列大辞典の数列 A010467）。無理数であることが知られているので、この数字の並びは循環しない。

語呂合わせでは「人丸（ひとまる）は三色（みいろ）に並ぶ」などがある。最初の「人丸」は「10」の語呂合わせであり、実際の値の語呂合わせは「三色」以下である。

概説

• ${\displaystyle {\sqrt {10}}}$は代数的整数である。${\displaystyle {\sqrt {10}}}$の有理数体 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 上の既約多項式は ${\displaystyle x^{2}-10}$ である。
• ${\displaystyle {\sqrt {10}}}$の連分数表示は

${\displaystyle {\sqrt {10}}=3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}}$

となる。

• 円周率 ${\displaystyle \pi =3.1415926535\cdots }$の近似値として使われた。円周率#和算における円周率の取り扱いも参照。
• 直角を挟む2辺の長さが1,3である直角三角形の斜辺の長さは${\displaystyle {\sqrt {10}}}$である。