5の平方根

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5の平方根（ごのへいほうこん）は、平方して 5 になる実数である。正のものと負のものの2つがある。正の平方根は

${\displaystyle {\sqrt {5}}}$

直角三角形のうち、直角の一辺が1、片方の直角の一辺が2だと、斜線の一辺が${\displaystyle {\sqrt {5}}}$になる。

と書き、「ルート5」と読む。また、負の平方根は

${\displaystyle -{\sqrt {5}}}$

である。以下、正の平方根について記述する。

${\displaystyle {\sqrt {5}}}$は無理数であることが知られており、したがって小数部分は循環しない。オンライン整数列大辞典によると、十進法表示の小数点以下98桁までは以下の通りである^[1]。

2.23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 70897 24541 05209 25637 80489 94144 14408 37878 227…

語呂合わせでは「富士山麓オウム鳴く（ふじさんろくおうむなく）」などがある。

性質

• ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$は代数的整数である。${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ の有理数体 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 上の既約多項式は x ² − 5 である。
• ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$の連分数表示は

${\displaystyle {\sqrt {5}}=2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}}$

となる。

• 黄金比に ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ が登場する。具体的には

${\displaystyle 1:{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$

で表される。

• フィボナッチ数列の一般項に現れる。

${\displaystyle F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left\{\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right\}={{\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{-n}} \over {\sqrt {5}}}}$

で表される。