遷移行列

遷移行列（T行列）は散乱理論において遷移振幅を与える行列である。

遷移行列は散乱振幅と深いつながりがある。

定義

散乱理論ではしばしば、シュレディンガー方程式を以下の積分方程式（リップマン-シュウィンガー方程式）に書き換えて問題を解く。

${\displaystyle |\psi ^{\pm }\rangle =|\phi \rangle +{\hat {G_{0}^{\pm }}}{\hat {V}}|\psi ^{\pm }\rangle \,}$

ここで${\displaystyle |\phi \rangle }$は入射状態、${\displaystyle |\psi ^{\pm }\rangle \ }$は散乱状態（+は外向き、-は内向きを表す）、${\displaystyle {\hat {V}}}$は散乱体との相互作用を表す演算子、${\displaystyle {\hat {G_{0}^{\pm }}}}$は相互作用が無い状態のグリーン演算子である。

遷移演算子${\displaystyle {\hat {T}}}$は、次のように入射状態${\displaystyle |\phi \rangle }$と散乱状態${\displaystyle |\psi ^{\pm }\rangle \ }$を結びつける演算子${\displaystyle {\hat {T}}}$として定義される。

${\displaystyle {\hat {T}}|\phi \rangle ={\hat {V}}|\psi ^{\pm }\rangle }$

よって遷移演算子を用いるとリップマン-シュウィンガー方程式は以下のように書き換えられる。

${\displaystyle |\psi ^{\pm }\rangle =|\phi \rangle +{\hat {G_{0}^{\pm }}}{\hat {T}}|\phi \rangle \,}$

これはもはや積分方程式ではなく、右辺で未知なものは遷移演算子のみである。つまりリップマン-シュウィンガー方程式を解く代わりに遷移演算子${\displaystyle {\hat {T}}}$を求めることで散乱状態が求められることになる。

遷移演算子を、相互作用領域への入射状態${\displaystyle |\phi \rangle }$と散乱状態${\displaystyle |\psi ^{\pm }\rangle }$を用いて行列表示したものを遷移行列${\displaystyle T\ }$という。 よって行列要素は${\displaystyle \langle \psi ^{\pm }|{\hat {T}}|\phi \rangle }$となる。

性質

リップマン-シュウィンガー方程式と遷移演算子の定義より以下の関係が得られる。

${\displaystyle {\hat {T}}={\hat {V}}+{\hat {V}}{\hat {G_{0}^{\pm }}}{\hat {T}}}$

これは以下のように表すこともできる。

${\displaystyle {\hat {T}}={\hat {V}}+{\hat {V}}{\hat {G_{0}^{\pm }}}{\hat {V}}+{\hat {V}}{\hat {G_{0}^{\pm }}}{\hat {V}}{\hat {G_{0}^{\pm }}}{\hat {V}}+\cdots }$

このような遷移演算子についての級数を、途中で打ち切ることをボルン近似という。たとえば1次のボルン近似では${\displaystyle {\hat {T}}={\hat {V}}}$と近似する。

参考文献

• 小泉義晴『工学者のための量子物理学とグリーン関数　講義・演習ノート』現代工学社、1987年。ISBN 4874721303。

関連項目

• 遷移確率
• 散乱理論
• リップマン-シュウィンガー方程式
• ボルン近似
• S行列