Герон формуласы

Герон формуласы — Александриялық Герон ^[1] атындағы үшбұрыштың ауданын (S) оның қабырғаларының (a, b, және c) ұзындықтары арқылы өрнектейтін формула:

${\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$

a, b, және c қабырғалары бар үшбұрыш.

мұндағы p — үшбұрыштің жарты периметрі:

${\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}.}$

Герон формуласын төмендегідей түрлерде де жазуға болады:

${\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}$

${\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}$

${\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}$

${\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}}$

Формуланы Александриялық Герон ашқан болатын, дәлелін ғалымның Метрика атты еңбегінен таба аласыз.Алайда үшбұрыш ауданын үш қабырғасы бойынша есептеу формуласын Архимед 2 ғасыр бұрын ашқан деген тұжырым бар.

Мысал

Айталық, ΔABC — берілген үшбұрыш, оның қабырғалары a=7, b=4 және c=5 болсын.

Жарты периметр — ${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)={\tfrac {1}{2}}(7+4+5)=8}$.

Яғни, аудан —

${\displaystyle S={\sqrt {p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}={\sqrt {8\cdot (8-7)\cdot (8-4)\cdot (8-5)}}}$

${\displaystyle ={\sqrt {8\cdot 1\cdot 4\cdot 3}}={\sqrt {96}}=4{\sqrt {6}}\approx 9.8}$

Дәлел

Алгебраны қолданған қазіргі дәлел, Геронның Метрика кітабындағы дәлелінен әлдақайда өзгеше. Айталық, a, b, c үшбұрыштың қабырғалары және A, B, C бұрыштары бұл қабырғаларға қарсы жатқан бұрыштар болсын.

Косинустар теоремасы бойынша:

${\displaystyle \cos {\widehat {C}}={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}$

C бұрышының синусын тапсақ:

${\displaystyle \sin {\widehat {C}}={\sqrt {1-\cos ^{2}{\widehat {C}}}}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}.}$

Үшбұрыштың ауданың формуласын қолдана отырып:

${\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {1}{2}}ab\sin {\widehat {C}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2}))(2ab+(a^{2}+b^{2}-c^{2}))}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(c^{2}-(a-b)^{2})((a+b)^{2}-c^{2})}}\\&={\sqrt {\frac {(c-(a-b))(c+(a-b))((a+b)-c)((a+b)+c)}{16}}}\\&={\sqrt {{\frac {(b+c-a)}{2}}{\frac {(a+c-b)}{2}}{\frac {(a+b-c)}{2}}{\frac {(a+b+c)}{2}}}}\\&={\sqrt {{\frac {(a+b+c)}{2}}{\frac {(b+c-a)}{2}}{\frac {(a+c-b)}{2}}{\frac {(a+b-c)}{2}}}}\\&={\sqrt {p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}.\end{aligned}}}$