Эллипс

Эллипс^[1] – 2-ретті жазық қисық. Эллипс – фокус деп аталатын F1 F2 нүктелерден қашықтықтарының қосындысы бірдей болатын нүктелердің жиыны. Тік бұрышты координаттар жүйесінде Эллипс теңдеуі x²/a²+y²/b²=1 болады.^[2]

Конусты жазықтықпен қиғанда эллипс пайда болады.

Эллипс элементтері арасындағы қатынастар

Сурет:Ellipse parameters.gif

Эллипс мүшелері

• ${\displaystyle ~{\boldsymbol {a}}}$ — үлкен жарты осі;
• ${\displaystyle ~{\boldsymbol {b}}}$ — кіші жарты осі;
• ${\displaystyle ~{\boldsymbol {c}}}$ — фокальдық радиус (фокустары арасындағы жартылай қашықтық);
• ${\displaystyle ~{\boldsymbol {p}}}$ — фокальдық параметрі;
• ${\displaystyle ~{\boldsymbol {r}}_{p}}$ — перифокустық қашықтық (эллипстегі нүктеден фокусқа дейінгі ең жақын қашықтық);
• ${\displaystyle ~{\boldsymbol {r}}_{a}}$ — апофокустық қашықтық (эллипстегі нүктеден фокусқа дейінгі ең ұзын қашықтық);

${\displaystyle ~a^{2}=b^{2}+c^{2}}$

${\displaystyle e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}\;\;\;(0\leq e<1).}$.

${\displaystyle ~p={\frac {b^{2}}{a}}}$

	${\displaystyle ~{\boldsymbol {a}}}$	${\displaystyle ~{\boldsymbol {b}}}$	${\displaystyle ~{\boldsymbol {c}}}$	${\displaystyle ~{\boldsymbol {p}}}$	${\displaystyle ~{\boldsymbol {r_{p}}}}$	${\displaystyle ~{\boldsymbol {r_{a}}}}$
${\displaystyle ~{\boldsymbol {a}}}$ – үлкен жарты осі	${\displaystyle ~{\boldsymbol {a}}}$	${\displaystyle ~a={\frac {b}{\sqrt {1-e^{2}}}}}$	${\displaystyle ~a={\frac {c}{e}}}$	${\displaystyle ~a={\frac {p}{1-e^{2}}}}$	${\displaystyle ~a={\frac {r_{p}}{1-e}}}$	${\displaystyle ~a={\frac {r_{a}}{1+e}}}$
${\displaystyle ~{\boldsymbol {b}}}$ – кіші жарты осі	${\displaystyle ~b=a{\sqrt {1-e^{2}}}}$	${\displaystyle ~{\boldsymbol {b}}}$	${\displaystyle ~b={\frac {c~{\sqrt {1-e^{2}}}}{e}}}$	${\displaystyle ~b={\frac {p}{\sqrt {1-e^{2}}}}}$	${\displaystyle ~b=r_{p}{\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}}$	${\displaystyle ~b=r_{a}{\sqrt {\frac {1-e}{1+e}}}}$
${\displaystyle ~{\boldsymbol {c}}}$ – фокальдық қашықтық	${\displaystyle ~c=ae}$	${\displaystyle ~c={\frac {be}{\sqrt {1-e^{2}}}}}$	${\displaystyle ~{\boldsymbol {c}}}$	${\displaystyle ~c={\frac {pe}{1-e^{2}}}}$	${\displaystyle ~c={\frac {r_{p}e}{1-e}}}$	${\displaystyle ~c={\frac {r_{a}e}{1+e}}}$
${\displaystyle ~{\boldsymbol {p}}}$ – фокальдық параметр	${\displaystyle ~p=a(1-e^{2})}$	${\displaystyle ~p=b~{\sqrt {1-e^{2}}}}$	${\displaystyle ~p=c~{\frac {1-e^{2}}{e}}}$	${\displaystyle ~{\boldsymbol {p}}}$	${\displaystyle ~p=r_{p}(1+e)}$	${\displaystyle ~p=r_{a}(1-e)}$
${\displaystyle ~{\boldsymbol {r}}_{p}}$ – перифокустық қашықтық	${\displaystyle ~r_{p}=a(1-e)}$	${\displaystyle ~r_{p}=b~{\sqrt {\frac {1-e}{1+e}}}}$	${\displaystyle ~r_{p}=c~{\frac {1-e}{e}}}$	${\displaystyle ~r_{p}={\frac {p}{1+e}}}$	${\displaystyle ~{\boldsymbol {r}}_{p}}$	${\displaystyle ~r_{p}=r_{a}{\frac {1-e}{1+e}}}$
${\displaystyle ~{\boldsymbol {r}}_{a}}$ – апофокустық қашықтық	${\displaystyle ~r_{a}=a(1+e)}$	${\displaystyle ~r_{a}=b~{\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}}$	${\displaystyle ~r_{a}=c~{\frac {1+e}{e}}}$	${\displaystyle ~r_{a}={\frac {p}{1-e}}}$	${\displaystyle ~r_{a}=r_{p}~{\frac {1+e}{1-e}}}$	${\displaystyle ~{\boldsymbol {r}}_{a}}$

Координаттық түрде өрнектеу

Эллипс екінші реттік қисық ретінде

Эллипс является центральной невырожденной кривой второго порядка және жалпы мына теңдеуді қанағаттандырады

${\displaystyle ~a_{11}x^{2}+a_{22}y^{2}+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0,}$

инварианттың ${\displaystyle D>0\,}$ және ${\displaystyle \Delta I<0,\,}$ болғанда, мұндағы:

${\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{vmatrix}},}$

${\displaystyle D={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{12}^{2},}$

${\displaystyle I=tr{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}}=a_{11}+a_{22}.}$

Екінші реттік қисық инварианттары мен эллипс жарты остері арасындағы қатынастар:

${\displaystyle \Delta =-a^{4}b^{4},\,}$

${\displaystyle D=a^{2}b^{2},\,}$

${\displaystyle I=a^{2}+b^{2}.\,}$