ក្រលាផ្ទៃរង្វង់

ក្រលាផ្ទៃ​រង្វង់​ដែលមានកាំ r កំនត់ដោយរូបមន្ត ${\displaystyle \ \color {blue}S=\pi r^{2}}$

សំរាយបញ្ជាក់

សមីការរង្វង់ដែលមានផ្ចិតស្ថិតនៅត្រង់គល់ O កំនត់ដោយ

${\displaystyle \ x^{2}+y^{2}=r^{2}}$

ដែល r ជាកាំ ។ យើងសរសេរ y ជាអនុគមន៍នៃអថេរ x និង ចំនួនថេរ r ។

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x^{2}}{r^{2}}}+{\frac {y^{2}}{r^{2}}}&=1\\\Rightarrow {\frac {y}{r}}&={\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{r^{2}}}}}\\\Rightarrow y&=r{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{r^{2}}}}}\end{aligned}}}$

ដោយស៊ីមេទ្រី ក្រលាផ្ទៃនៃរង្វង់ផ្ចិត O ស្មើនឹងបួនដងនៃក្រលាផ្ទៃរវាង (0, 0) និង (r, 0) ផ្នែកខាងលើអ័ក្សអាប់ស៊ីស​។ យើងអាចធ្វើអាំងតេក្រាល​ដើម្បីគណនាក្រលាផ្ទៃរង្វង់៖

${\displaystyle S=4r\int _{0}^{r}{\sqrt {1--{\frac {x^{2}}{r^{2}}}}}dx}$

ដើម្បីរកព្រីមីទីវនៃ ${\displaystyle {\sqrt {1--{\frac {x^{2}}{r^{2}}}}}}$ យើងតាង

${\displaystyle \ x=r\sin \theta }$

${\displaystyle \theta =arcsin{\frac {x}{r}}}$

${\displaystyle \ dx=r\cos \theta d\theta }$

ហេតុនេះ

${\displaystyle S=4r\int _{0}^{r}{\sqrt {1--{\frac {x^{2}}{r^{2}}}}}dx=4r\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}r{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}\cos \theta d\theta }$

ដោយ​ ${\displaystyle \ 1-\cos ^{2}\theta =\sin ^{2}\theta }$ យើងបាន

${\displaystyle S=4r\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}r{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}\cos \theta d\theta =4r^{2}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}\theta d\theta }$

ដោយ ${\displaystyle \cos ^{2}\theta ={\frac {1}{2}}(1+\cos 2\theta )}$ យើងបាន

${\displaystyle {\begin{aligned}S&=4r^{2}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}\theta d\theta \\&=4r^{2}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{2}}(1+\cos 2\theta )d\theta \\&=2r^{2}\theta |_{0}^{\frac {\pi }{2}}+2r^{2}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos 2\theta d\theta \\&=\pi r^{2}+2r^{2}(\sin 2\theta )|_{0}^{\frac {\pi }{2}}\\&=\pi r^{2}\end{aligned}}}$

ដូចនេះក្រលាផ្ទៃរង្វង់ដែលមានកាំ r ស្មើនឹង ${\displaystyle \ \color {blue}\pi r^{2}}$