មេដ្យាន

ក្នុងធរណីមាត្រ មេដ្យានទ័រនៃអង្តក់គឺជាអង្កត់ដែលភ្ជាប់ពី​​កំពូលនៃត្រីកោណទៅកាន់ចំនុចកណ្តាល​នៃជ្រុងឈមនឹងកំពូលនោះ។ ក្នុងត្រីកោណនីមួយៗតែងតែមានមេដ្យានបី ដែលមេដ្យាន​នីមួយៗគូសចេញពីកំពូលកាន់ជ្រុងឈមហើយកាត់ជ្រុងឈមនោះ​ត្រង់ចំនុចកណ្តាល។

មេដ្យាននៃត្រីកោណនិងទីប្រជុំទំងន់

ចំនុចប្រសព្វនៃមេដ្យានទាំងបី

មេដ្យានទាំងបីនៃត្រីកោណជួបគ្នាត្រង់ចំនុចមួយហៅថា​ទីប្រជុំទំងន់នៃត្រីកោណ។ កត់សំគាល់ថា​ទីប្រជុំទំងន់នៃត្រីកោណ​គឺស្ថិតនៅផ្នែកខាងក្នុង​ត្រីកោណជានិច្ច។ ពីរភាគបីនៃរង្វាស់មេដ្យាន​នីមួយៗគឺជារង្វាស់រវាងកំពូលនិងទីប្រជុំទំងន់ ដែលមួយភាគបីគឺជារង្វាស់ពីទីប្រជុំទំងន់ទៅចំនុចកណ្តាលនៃជ្រុងឈម។មេដ្យាទ័រនែជ្រុងMNនិងMPនៃត្រីកោណMNPប្រសព្វត្រង់Oបង្ហាញថាOM=ON=OP

ការចែកក្រលាផ្ទៃស្មើគ្នា

មេដ្យានទាំងបីចែកត្រីកោណជា៦​ត្រីកោណដែលមានក្រលាផ្ទៃស្មើៗគ្នា។ បន្ទាត់ដែលចែកក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណជាពីរស្មើគ្នា គឺមិនកាត់តាមទីប្រជុំទំងន់ទេ។

សំរាយបញ្ជាក់

គេមានត្រីកោណ ABC ។ តាង D ជាចំនុចកណ្តាលនៃជ្រុង AB តាង E ជាចំនុចកណ្តាលនៃជ្រុង BC តាង F ជាចំនុចកណ្តាលនៃជ្រុង AC និងតាង O ជាទីប្រជុំទំងន់។

ត្រីកោណ ABC មានទីប្រជុំទំងន់ O

តាមនិមយន័យ ${\displaystyle AD=DB,AF=FC,BE=EC\,}$

ហេតុនេះ ${\displaystyle S_{ADO}=S_{BDO},S_{AFO}=S_{CFO},S_{BEO}=S_{CEO}\,}$

ដែល ${\displaystyle S_{ABC}\,}$ តំណាងអោយក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC ។

យើងបាន

${\displaystyle S_{ABO}=S_{ABE}-S_{BEO}\,}$

${\displaystyle S_{ACO}=S_{ACE}-S_{CEO}\,}$

ហេតុនេះ

${\displaystyle S_{ABO}=S_{ACO}\,}$ និង ${\displaystyle S_{ADO}=S_{DBO},S_{ADO}={\frac {1}{2}}S_{ABO}}$

ដោយ ${\displaystyle S_{AFO}=S_{FCO},S_{AFO}={\frac {1}{2}}S_{ACO}={\frac {1}{2}}S_{ABO}=S_{ADO}}$

គេបាន ${\displaystyle S_{AFO}=S_{FCO}=S_{ADO}=S_{DBO}\,}$

ដោយប្រើវិធីដូចគ្នា យើងអាចបង្ហាញថា ${\displaystyle S_{AFO}=S_{FCO}=S_{ADO}=S_{DBO}=S_{BEO}=S_{CEO}\,}$

រូបមន្តគណនារង្វាស់មេដ្យាន

ដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទស្តេអាត (Stewart's theorem) ចំពោះត្រីកោណ ABC ដែលមានរង្វាស់ជ្រុង a b និង c (ដូចបង្ហាញក្នុងរូបខាងលើ) ; ${\displaystyle m_{a}\,}$ រង្វាស់មេដ្យានគូសចេញពីកំពូល A ទៅកាន់ជ្រុង BC ; ${\displaystyle m_{b}\,}$ រង្វាស់មេដ្យានគូសចេញពីកំពូល B ទៅកាន់ជ្រុង AC និង ${\displaystyle m_{c}\,}$ រង្វាស់មេដ្យានគូសចេញពីកំពូល C ទៅកាន់ជ្រុង AB (${\displaystyle m_{a}=AD;\quad m_{b}=BE;\quad m_{c}=CF;\quad a=BC;\quad b=AC;\quad c=AB\,}$ ) យើងបានទំនាក់ទំនងរវាង ${\displaystyle m_{a}\,}$ និង រង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណសំដែងដោយ

${\displaystyle 4m_{a}^{2}+a^{2}=2(b^{2}+c^{2})\,}$

${\displaystyle \Rightarrow m_{a}=AD={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}}}$

ដូចគ្នាដែរចំពោះមេដ្យានគូសចេញពីកំពូលផ្សេងទៀតនៃត្រីកោណ

${\displaystyle \Rightarrow m_{b}=BE={\sqrt {\frac {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}}}}$

${\displaystyle \Rightarrow m_{c}=CF={\sqrt {\frac {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}}}}$

គណនាក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណជាអនុគមន៍នៃរង្វាស់មេដ្យាន

មេដ្យាន ${\displaystyle AA_{1}\,}$ នៃត្រីកោណ ABC គឺគូសចេញពីកំពូល ${\displaystyle A\,}$ ទៅកាន់ចំនុចកណ្តាល ${\displaystyle A_{1}\,}$ នៃជ្រុងឈមនៃកំពូល A ។ មេដ្យាន​ទាំងបី​ជួបគ្នា​ត្រង់ចំនុចមួយ G ហៅថាទីប្រជុំទំងន់នៃត្រីកោណ ABC ។ G ក៏អាចហៅថាបារីសង់នៃត្រីកោណ ABC ផងដែរ។ ចំនុច G ជាទ្រីលីនែអ៊ែ (ចំនុចធៀបនៃចំងាយរវាងជ្រុងទាំងបីនៃត្រីកោណនិងចំនុចនោះ)​ ដែល ${\displaystyle {\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}\,}$  (a, b, និង c ជារង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណ ABC) ។ លើសពីនេះទៅទៀត មេដ្យាននៃត្រីកោណមួយចែកជាមេដ្យានមួយទៀត (មេដ្យាននៃត្រីកោណមេដ្យាន) ដោយផលធៀប ២:១

${\displaystyle AG:GA_{1}=BG:GB_{1}=CG:GC_{1}=2:1\,}$

តាង ${\displaystyle m_{a},\quad m_{b},\quad m_{c}\,}$ ជារង្វាស់រៀងគ្នានៃមេដ្យានគូសចេញពីកំពូល A B និង C ។ គេបាន

${\displaystyle {\begin{cases}&m_{a}^{2}={\frac {1}{4}}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})\\&m_{b}^{2}={\frac {1}{4}}(2a^{2}+2c^{2}-b^{2})\\&m_{c}^{2}={\frac {1}{4}}(2a^{2}+2b^{2}-c^{2})\end{cases}}}$

${\displaystyle \Rightarrow m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}={\frac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

តាង ${\displaystyle p_{m}={\frac {1}{2}}(m_{a}+m_{b}+m_{c})}$

គេបានក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC កំនត់ដោយ

${\displaystyle \color {RoyalBlue}S_{ABC}={\frac {3}{4}}{\sqrt {p_{m}(p_{m}-m_{a})(p_{m}-m_{b})(p_{m}-m_{c})}}}$

សូមមើលផងដែរ

• ទ្រឹស្តីបទមេដ្យាន
• កំពស់ត្រីកោណ
• ទ្រឹស្តីបទឆិវ៉ា (Ceva's theorem)