អាំងតេក្រាលដោយផ្នែក

ក្នងការគណនា និងក្នុងការវិភាគគណិតវិទ្យា អាំងតេក្រាលដោយផ្នែកជាក្បួនមួយដែលបំលែងផលគុណអាំងតេក្រាល​នៃអនុគមន៍​ទៅជាអាំងតេក្រាលអនុគមន៍ងាយៗ​ដើម្បីសំរួលដល់ការគណនា ។

ក្បួន

សន្មត f(x) និង g(x) ជាអនុគមន៍ជាប់ និងមានដេរីវេនៅក្នុងចន្លោះ a និង b នោះគេបានក្បួនអាំងតេក្រាលដោយផ្នែកសំដែងដោយ៖

${\displaystyle \color {blue}\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx=\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)g(x)\,dx\!}$

ជាទូទៅ

${\displaystyle \color {blue}\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{b}=f(b)g(b)-f(a)g(a)\!}$

ក្បួននេះបង្ហាញថាពិតជាត្រឹមត្រូវ​ដោយប្រើប្រាស់ក្បួនផលគុណជំពោះដេរីវេ និងទ្រឹស្តីបទគ្រឹះនៃការគណនា។ ដូច្នេះ៖

${\displaystyle f(b)g(b)-f(a)g(a)\!}$	${\displaystyle =\int _{a}^{b}{\frac {d}{dx}}(f(x)g(x))\,dx\!}$
	${\displaystyle =\int _{a}^{b}f'(x)g(x)\,dx+\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx.\!}$

ចំពោះអាំងតេក្រាលមិនកំនត់ ក្បួនេះសំដែងដោយ

${\displaystyle \color {blue}\int f(x)g'(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,dx\!}$

នៅក្នុងទំរង់ខ្លី ប្រសិនបើយើងតាង u = f(x), v = g(x) និងឌីផេរ៉ង់ស្យែល du = f ′(x) គេអាចសរសេរ

${\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du\!}$

ឧទាហរណ៍

ឧទាហរណ៍ទី១

${\displaystyle {\begin{aligned}\int x\cos(x)\,dx&=x\sin(x)-\int \sin(x)\,dx\\&=x\sin(x)+\cos(x)+C\end{aligned}}\!}$

ឧទាហរណ៍ទី២

${\displaystyle {\begin{aligned}\int xe^{x}\,dx&=xe^{x}-\int e^{x}\,dx\\&=xe^{x}-e^{x}+C\end{aligned}}\!}$

ឧទាហរណ៍ទី៣

${\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\,dx=e^{x}\cos(x)+\int e^{x}\sin(x)\,dx.\!}$

ដូចគ្នាដែរ

${\displaystyle \int e^{x}\sin(x)\,dx\ =e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)\,dx\!}$

គេបាន

${\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\,dx=e^{x}\cos(x)+e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)\,dx.\!}$

ដូចនេះ

${\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\,dx={e^{x}(\sin(x)+\cos(x)) \over 2}+C\!}$

ឧទាហរណ៍ទី៤

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \ln(x)\,dx&=\int \ln(x)\cdot 1\,dx\\&=x\ln(x)-\int {\frac {x}{x}}\,dx\\&=x\ln(x)-\int 1\,dx\\&=x\ln(x)-x+C\end{aligned}}\!}$