브라우어르 고정점 정리
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위상수학에서 브라우어르 고정점 정리(-不動點定理, Brouwer fixed-point theorem)는 라위트전 브라우어르의 이름이 붙은 고정점 정리이다. 이 정리에 의하면, 콤팩트 볼록 집합에서 자기 자신으로 가는 연속함수 f는 고정점, 즉 f(x0)=x0인 x0를 갖는다. 가장 간단한 형식은 폐구간 I, 또는 폐원판 D에서 자기 자신으로 가는 연속함수 f에 대한 것이다. 이보다 조금 더 일반화 된 것이 유클리드 공간의 콤팩트 볼록 부분집합 K에서 자신으로 가는 연속함수 f에 대한 정리이다.
수백개가 넘는 고정점 정리들 중,[1] 브라우어르 고정점 정리는 특별히 잘 알려져 있다. 수학의 많은 영역에서 두루 사용되고 있는 것이 한 이유다. 원래의 영역인 대수적 위상수학에서 조르당 곡선 정리, 털난 공 정리, 보르수크-울람 정리와 함께 유클리드 공간의 위상을 기술하는 핵심 정리이며,[2] 이로써 위상수학의 기본 정리 중 하나로 간주된다.[3] 이 정리는 미분방정식에 관한 더 심도있는 결론을 증명하는데에도 쓰이며 대부분의 미분기하학 입문 수업에서 다루어진다. 게임 이론 같은 곳에서도 나타난다. 경제학에서, 브라우어르 고정점 정리와 그의 확장인 가쿠타니 고정점 정리는 시장경제의 일반균형의 존재 증명에 결정적인 역할을 했다.
이 정리는 푸앵카레와 피카르가 미분방정식에 관한 작업을 위해 처음 연구하였다. 일반화된 결론은 1910년 자크 아다마르[4]와 라위트전 브라우어르[5]에 의해 처음 증명되었다.