오차 함수(誤差函數, error function)는 확률론, 통계학, 편미분 방정식 등에서 사용하는 비초등 함수이다. 가우스 오차 함수라고도 하며 다음과 같이 정의한다.
![{\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e659db8ac65279291e40733a160d895de0a9d98)
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Disambig_grey.svg/23px-Disambig_grey.svg.png)
차수가 5인 다항 함수에 대해서는
오차 방정식 문서를 참고하십시오.
오차함수의 그래프
오른쪽 항을 테일러 급수로 전개하여 적분하면 모든 실수 x에 대해 다음과 같은 식을 얻는다.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} (x)&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)n!}}\\&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{10}}-{\frac {x^{7}}{42}}+{\frac {x^{9}}{216}}-\ \cdots \right)\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2645ccaac24c63436fa5b5b556764758549b3394)
여오차 함수 그래프
'여오차 함수(餘誤差函數)'는 erfc라고 쓰며 오차 함수를 이용하여 다음과 같이 정의한다.
![{\displaystyle {\mbox{erfc}}(x)=1-{\mbox{erf}}(x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e747e89de81a43b059918bfc5cdf9c892d1c86c)
'복소오차 함수'는 w(x)라고 쓰며 오차함수를 이용하여 다음과 같이 정의한다.
![{\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}}{\textrm {erfc}}(-ix)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db2dbcd4746160af229083dd2c3f942a688c3606)