폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론
공리적 집합론 / From Wikipedia, the free encyclopedia
수리논리학에서 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론(영어: von Neumann–Bernays–Gödel set theory, 약자 NBG)은 모임을 다루는 공리적 집합론의 하나이다. 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)의 보존적 확장이다. 즉, 순수하게 집합에 대한 명제에 대하여, ZFC에서의 증명 가능성과 NBG에서의 증명 가능성이 서로 동치다. 또한, ZFC와 달리 유한 공리화 가능(finitely axiomatizable)하다.
ZFC와는 달리 NBG는 모임을 직접적으로 다루며, 특히 모든 집합의 고유 모임이나 모든 순서수의 고유 모임 등을 이론 밖으로 나가지 않고 정의할 수 있다. 모임을 정의하는 논리식의 모든 한정 기호의 범위는 집합에 국한되어야 한다. 이때 모든 집합론의 논리식들은 두 종류의 원자 논리식(원소 관계와 등호 관계)과 유한한 개수의 논리 기호로부터 이루어지므로, 이들을 재귀적으로 구성하는 유한 개의 규칙을 모방한 유한 개의 공리를 가정하면 충분하다. 따라서, NBG는 유한 공리화 가능하다.
NBG가 ZFC의 보존적 확장임을 증명하는 방법에는 여러 가지가 있다. 모든 ZFC의 모형은 모형의 부분 집합들을 모아 만든 NBG의 모형으로 확대할 수 있다. 마찬가지로, 모든 NBG의 모형에서, 모형의 원소의 원소인 것들을 골라내면 ZFC의 모형을 얻는다. 따라서, 괴델의 완전성 정리에 의하여 NBG는 ZFC의 보존적 확장이다.
모임에 대하여 한정 기호를 가하는 논리식이 모임을 정의하는 것을 허용하면 모스-켈리 집합론(영어: Morse–Kelley set theory, 약자 MK)이 되는데, 이는 MK와 NBG의 공리계의 유일한 차이점이다. 이 ZFC의 확장은 더 이상 보존적이지 않으며, 더 이상 유한 공리화 가능하지 않다. 구체적으로, MK의 무모순성 세기는 ZFC와 큰 기수 공리를 통한 확장 사이에 있다.