가법성

가법성(加法性, Additivity, 덧셈 사상, 가산 사상)은 정의역의 두 함수들에 대한 함수와 항상 각 함수의 값 합계가 서로 같은 값을 반환한다는 함수의 성질을 말한다. 대수학 수이론에서 덧셈 사상 또는 Z-선형사상 또는 가산함수는 가산 연산을 보존하는 함수이다.

${\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)}$

가법성 함수의 특성은 준가법성의 특수한 경우이지만 보다 일반적으로 다루어지기도 한다. 이러한 덧셈함수(가산함수)는 수론적 함수이다.

가산함수

덧셈함수는 양의 정수 ${\displaystyle n}$ 의 산술함수(수론적 함수) ${\displaystyle f(n)}$이며, ${\displaystyle a}$ 와 ${\displaystyle b}$ 가 서로소 일 때 각각의 함수합은 다음과 같은 함수의 합이다.^[1]

${\displaystyle f(ab)=f(a)+f(b)}$

곱셈함수

임의의 가산 함수${\displaystyle f(n)}$로부터, 관련된 곱셈 함수${\displaystyle g(n)}$을 생성하기 쉽다. 즉, ${\displaystyle a}$ 및 ${\displaystyle b}$가 서로 가중 될 때마다

${\displaystyle g(ab)=g(a)\cdot g(b)}$

코시함수방정식

가법성이 일반적으로 다루어진 코시함수방정식^[2]

${\displaystyle f(x)}$가 ${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$를 만족하면 ${\displaystyle f(x)=kx}$(단, k는 상수)이다.

${\displaystyle f(x)}$가 ${\displaystyle f(x+y)=f(x)\times f(y)}$를 만족하면 ${\displaystyle f(x)=a^{x}}$(단, a는 양의 실수)이다.

${\displaystyle f(x)}$가 ${\displaystyle f(xy)=f(x)+f(y)}$를 만족하면 ${\displaystyle f(x)=log_{a}x}$(단, ${\displaystyle a>0,a\neq 1}$인 실수)이다.

${\displaystyle f(x)}$가 ${\displaystyle f(xy)=f(x)\times f(y)}$를 만족하면 ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$(단, n는 실수)이다.

같이 보기

• 코시 함수 방정식
• 곱셈함수
• 가산함수