가우스 법칙

가우스 법칙(Gauss's law)은 폐곡면을 통과하는 전기 선속이 폐곡면 속의 알짜 전하량과 동일하다는 법칙이다. 맥스웰 방정식 가운데 하나다.

가우스 법칙은 적분 형태로 주어졌을 때, 대칭성에 따라 전기장이 균일한 닫힌 표면을 찾을 수 있는 경우에 특히 유용된다. 전기 선속은 그 표면적과 전기장의 세기의 곱으로 표현되며, 해당 표면에 포함된 총 전하에 비례한다. 여기서는 충전된 구체의 외부(r > R)와 내부(r < R)의 전기장을 계산한다.

내부에 전하가 있는 구에 대한 가우스 법칙

정의

가우스 법칙은 미분 형태와 적분 형태가 있다. 두 형태는 발산 정리에 대등하다.

가우스 법칙의 적분 형태는 다음과 같다.

${\displaystyle \Phi =\oint _{A}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A} =Q_{0}}$

여기서 ${\displaystyle \mathbf {D} }$는 변위장(전속밀도), ${\displaystyle d\mathbf {A} }$는 표면 A 위의 미소 면적을 나타내는 벡터 (그 지점의 접평면에서 바깥쪽을 향하는 법선 벡터), ${\displaystyle Q_{0}}$는 폐곡면 속의 알짜 자유 전하량이다. ${\displaystyle \oint _{A}}$는 표면 A전체에 대한 면적분이다.

가우스 법칙의 미분 형태는 다음과 같다.

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{0}}$

여기서 ${\displaystyle \nabla \cdot }$는 발산 연산자, ${\displaystyle \mathbf {D} }$는 변위장(전속밀도), ${\displaystyle \rho _{0}}$는 자유 전하 밀도다.

위 공식은 자유 전하에 대한 가우스 법칙이다. 즉, ${\displaystyle Q_{0}}$와 ${\displaystyle \rho _{0}}$는 매질 속의 분극 전하를 포함하지 않는다. 분극 전하를 포함한 모든 전하에 대한 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle \Phi =\oint _{A}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =Q/\epsilon _{0}}$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\rho /\epsilon _{0}}$.

여기서 ${\displaystyle Q}$는 알짜 전하 (분극 전하 포함), ${\displaystyle \rho }$는 전하 밀도 (분극 전하 포함)다. ${\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {D} /\epsilon }$는 전기장이다. ${\displaystyle \epsilon _{0}}$는 진공의 유전율로, 기본 상수다.

적용

${\displaystyle E={\sigma \over \epsilon _{0}}}$ (전도체 표면, σ는 단위면적당 전하량이다.)

${\displaystyle E={\lambda \over 2\pi \epsilon _{0}r}}$ (도선, λ은 단위길이당 전하량이고, r은 가우스 표면까지의 거리이다.)

${\displaystyle E={\sigma \over 2\epsilon _{0}}}$ (면)

${\displaystyle E={1 \over 4\pi \epsilon _{0}}{q \over r^{2}}}$ (구 껍질 또는 꽉찬 구에서, r≥R인 구의 표면)

${\displaystyle E=0}$ (구 껍질에서, r<R인 구의 표면)

${\displaystyle E=({q \over 4\pi \epsilon _{0}R^{3}})r}$ (꽉찬 구에서, r≤R인 구의 단위면적당 전하)

역사

카를 프리드리히 가우스가 1835년에 발견하고, 1867년에 발표하였다.^[1]