감쇠조화진동의 지배방정식은 다음과 같다.

m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=0,

이것을

{\ddot {x}}

항의 계수

m

으로 나머지 항들을 나누고,

{\ddot {x}}+{c \over m}{\dot {x}}+{k \over m}x=0,

계속해서,

고유진동수 $\,\omega _{n}={\sqrt {k \over m}}\,$ 와 감쇠비 $\,2\zeta \omega _{n}={c \over m}\,$ 를 도입하고, 소멸미분연산자(Annihilated Differential Operator)를 대입하면,

$x=e^{sx},{\dot {x}}=se^{sx},{\ddot {x}}=s^{2}e^{sx}\,$ 로 가정하면,

s^{2}e^{sx}+{c \over m}se^{sx}+{k \over m}e^{sx}=0

e^{sx}(s^{2}+{c \over m}s+{k \over m})=0

따라서, 특성방정식은 다음과 같다.

s^{2}+2\zeta \omega _{n}s+\omega _{n}^{2}=0

$s$ 의 해를 찾으려면 2차 방정식에 근의 공식을 대입하면,

s={\frac {-2\zeta \omega _{n}\pm {\sqrt {(2\zeta \omega _{n})^{2}-4\omega _{n}^{2}}}}{2}}

s=-\zeta \omega _{n}\pm {\frac {\sqrt {2^{2}\zeta ^{2}\omega _{n}^{2}-2^{2}\omega _{n}^{2}}}{\sqrt {2^{2}}}}

이를 정리하면,

s=-\zeta \omega _{n}\pm \omega _{n}{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}

특성방정식이 두 개의 실근이 있을 때를 과(도)감쇠(overdamped)라고 하며, 이때 응답은 지수로 감소하며, 진동은 발생하지 않는다.

x(t)=e^{-\zeta \omega _{n}t}\left[Ae^{{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\omega _{n}t}+Be^{-{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\omega _{n}t}\right]

여기서 A와 B는 초기조건에서 결정되는 상수이다.

임계감쇠(critically damped)는 감쇠비 $\zeta =1$ 인 경우로 특성방정식은 하나의 실근(중근)을 가지며, 과감쇠와 저감쇠의 경계가 된다. 과감쇠와 마찬가지로 응답이 지수로 감소하며, 진동이 발생하지 않는다.

초기조건 $x(0)=x_{0}$ , ${\dot {x}}(0)={\dot {x}}_{0}$ 을 갖는 임계감쇠일 땐 미분방정식의 해는 다음과 같다.

x(t)=e^{-\omega _{n}t}\left[x_{0}+t^{2}+{\dot {x}}_{0}t\right]

특성방정식이 두 개의 허근을 갖는 경우를 저감쇠(과소감쇠)(underdamped)라고 하며, 이 때는 진동이 발생한다. 즉, 응답은 지수로 감소함과 동시에 진동을 한다....

초기조건 $x(0)=x_{0}$ , ${\dot {x}}(0)={\dot {x}}_{0}$ 에 해는,

x(t)=e^{-\zeta \omega _{n}t}\left[x_{0}\cos {\omega _{D}t}+{\frac {{\dot {x}}_{0}+\zeta \omega _{n}x_{0}}{\omega _{D}}}\sin {\omega _{D}t}\right]

여기서 감쇠진동수 ω_D는 다음과 같다.

\omega _{D}=\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}

미분방정식에서 감쇠비의 의미

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