결합분포

확률론에서 결합 분포란 확률 변수가 여러 개일 때 이들을 함께 고려하는 확률 분포이다. 결합 분포는 확률 분포의 일종이므로 결합 확률 분포라고도 한다.

이산적인 경우

이산 확률 변수 X, Y에 대한 결합 확률 질량 함수는 Pr(X = x & Y = y)로 쓸 수 있다. 그러면 다음 식이 성립한다.

${\displaystyle P(X=x\ \mathrm {and} \ Y=y)=P(Y=y|X=x)P(X=x)=P(X=x|Y=y)P(Y=y)\;}$

이것들은 확률이기 때문에 다음 식이 성립한다.

${\displaystyle \sum _{x}\sum _{y}P(X=x\ \mathrm {and} \ Y=y)=1\;}$

연속적인 경우

연속 확률 변수에 대한 결합 확률 밀도 함수는 f_X,Y(x, y)로 쓸 수 있고, 다음 식이 성립한다.

${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)=f_{Y|X}(y|x)f_{X}(x)=f_{X|Y}(x|y)f_{Y}(y)\;}$

여기서 f_Y|X(y|x)와f_X|Y(x|y)는 각각 X = x가 주어질 때의 Y와, Y = y가 주어질 때의 X에 대한 조건 분포이다. 그리고 f_X(x)와 f_Y(y)는 각각 X와 Y의 주변 분포이다.

역시 이것들은 확률이기 때문에 다음 식이 성립한다.

${\displaystyle \int _{x}\int _{y}f_{X,Y}(x,y)\;dy\;dx=1.}$

독립 변수의 결합 분포

모든 x, y에 대해서 이산 확률 변수인 경우에는 ${\displaystyle \ P(X=x\ {\mbox{and}}\ Y=y)=P(X=x)\cdot P(Y=y)}$, 연속 확률 변수인 경우에는 ${\displaystyle \ p_{X,Y}(x,y)=p_{X}(x)\cdot p_{Y}(y)}$가 성립하면, X와 Y는 독립이라고 한다.

다차원 분포

두 확률 변수에 대한 결합 분포는 여러 확률 변수 X₁, ..., X_n에 대한 분포로 확장할 수 있다. 다음 관계에 따라서 변수를 순서대로 더하면 된다.

${\displaystyle f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=f_{X_{n}|X_{1},\ldots ,X_{n-1}}(x_{n}|x_{1},\ldots ,x_{n-1})f_{X_{1},\ldots ,X_{n-1}}(x_{1},\ldots ,x_{n-1}).}$

같이 보기

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