코시 적분 정리 (Cauchy-Goursat theorem)나 유수 정리(Residue theorem) 등 몇 가지 알려진 정리들을 활용한다.
다음 적분을 하려고 한다.
∫
−
∞
∞
1
(
x
2
+
1
)
2
d
x
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{1 \over (x^{2}+1)^{2}}\,dx}
the contour 이 적분을 하기 위해 다음과 같은 복소함수를 먼저 생각한다.
f
(
z
)
=
1
(
z
2
+
1
)
2
{\displaystyle f(z)={1 \over (z^{2}+1)^{2}}}
이 함수는
i
{\displaystyle i}
−
i
{\displaystyle -i}
C
{\displaystyle C}
∮
C
f
(
z
)
d
z
=
∫
−
a
a
f
(
z
)
d
z
+
∫
Arc
f
(
z
)
d
z
{\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=\int _{-a}^{a}f(z)\,dz+\int _{\text{Arc}}f(z)\,dz}
이므로
∫
−
a
a
f
(
z
)
d
z
=
∮
C
f
(
z
)
d
z
−
∫
Arc
f
(
z
)
d
z
{\displaystyle \int _{-a}^{a}f(z)\,dz=\oint _{C}f(z)\,dz-\int _{\text{Arc}}f(z)\,dz}
라는 사실에 주목하자. (여기서 Arc는 반원의 가장자리를 따라가는 경로)
f
(
z
)
=
1
(
z
2
+
1
)
2
=
1
(
z
+
i
)
2
(
z
−
i
)
2
.
{\displaystyle f(z)={1 \over (z^{2}+1)^{2}}={1 \over (z+i)^{2}(z-i)^{2}}.}
와 같이 분모가 분해되고 적분경로 내부에는
i
{\displaystyle i}
f
(
z
)
=
1
(
z
+
i
)
2
(
z
−
i
)
2
,
{\displaystyle f(z)={{1 \over (z+i)^{2}} \over (z-i)^{2}},}
라고 쓸 수 있다. 코시 적분 공식에 직접 대입하여 다음과 같이 계산된다.
∮
C
f
(
z
)
d
z
=
∮
C
1
(
z
2
+
1
)
2
d
z
=
∮
C
1
(
z
+
i
)
2
(
z
−
i
)
2
d
z
=
2
π
i
d
d
z
(
1
(
z
+
i
)
2
)
|
z
=
i
=
2
π
i
(
−
2
(
z
+
i
)
3
)
|
z
=
i
=
2
π
i
(
−
i
/
4
)
=
π
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}f(z)\,dz&=\oint _{C}{1 \over (z^{2}+1)^{2}}\,dz=\oint _{C}{{1 \over (z+i)^{2}} \over (z-i)^{2}}\,dz=2\pi i{\frac {d}{dz}}\left(\left.{1 \over (z+i)^{2}}\right)\right|_{z=i}\\&=2\pi i\left.\left({-2 \over (z+i)^{3}}\right)\right|_{z=i}=2\pi i(-i/4)={\pi \over 2}\end{aligned}}}
반원의 가장자리를 따라가는 적분도 마저 계산해야 한다. 이 적분의 극한이 영에 수렴함을 보인다. 즉,
|
∫
Arc
f
(
z
)
d
z
|
≤
M
L
{\displaystyle \left|\int _{\text{Arc}}f(z)\,dz\right|\leq ML}
임을 보인다. 여기서
M
{\displaystyle M}
|
f
(
z
)
|
{\displaystyle |f(z)|}
L
{\displaystyle L}
반원 가장자리의 길이이다.
∫
Arc
f
(
z
)
d
z
≤
a
π
(
a
2
−
1
)
2
→
0
a
s
a
→
∞
.
{\displaystyle \int _{\text{Arc}}f(z)\,dz\leq {a\pi \over (a^{2}-1)^{2}}\rightarrow 0\ \mathrm {as} \ a\rightarrow \infty .}
이므로
∫
−
∞
∞
1
(
x
2
+
1
)
2
d
x
=
∫
−
∞
∞
f
(
z
)
d
z
=
lim
a
→
+
∞
∫
−
a
a
f
(
z
)
d
z
=
π
2
.
◻
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{1 \over (x^{2}+1)^{2}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }f(z)\,dz=\lim _{a\rightarrow +\infty }\int _{-a}^{a}f(z)\,dz={\pi \over 2}.\quad \square }
다음 적분을 시도하려고 한다.
∫
−
∞
∞
e
i
t
x
x
2
+
1
d
x
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itx} \over x^{2}+1}\,dx}
이 적분은 초등 미적분학으로 계산하기 어렵다. 위 예1과 마찬가지로 동일한 경로를 선택하여 적분한다. 그러므로 다음과 같은 복소함수의 적분을 생각해야 한다.
∫
C
e
i
t
z
z
2
+
1
d
z
.
{\displaystyle \int _{C}{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz.}
e
i
t
z
{\displaystyle e^{itz}}
전해석 함수 이므로 이 함수는 오직 분모가 영이 되는 지점에서만 특이점 을 가진다. 유수 를 계산하면 다음과 같다.
lim
z
→
i
(
z
−
i
)
f
(
z
)
=
lim
z
→
i
(
z
−
i
)
e
i
t
z
z
2
+
1
=
lim
z
→
i
(
z
−
i
)
e
i
t
z
(
z
−
i
)
(
z
+
i
)
{\displaystyle \lim _{z\to i}(z-i)f(z)=\lim _{z\to i}(z-i){e^{itz} \over z^{2}+1}=\lim _{z\to i}(z-i){e^{itz} \over (z-i)(z+i)}}
=
lim
z
→
i
e
i
t
z
z
+
i
=
e
i
t
i
i
+
i
=
e
−
t
2
i
.
{\displaystyle =\lim _{z\to i}{e^{itz} \over z+i}={e^{iti} \over i+i}={e^{-t} \over 2i}.}
그러므로 유수 정리 (residue theorem)에 의해 전체 경로의 적분값은 다음과 같이 계산된다.
∫
C
f
(
z
)
d
z
=
2
π
i
⋅
Res
z
=
i
f
(
z
)
=
2
π
i
e
−
t
2
i
=
π
e
−
t
.
{\displaystyle \int _{C}f(z)\,dz=2\pi i\cdot \operatorname {Res} _{z=i}f(z)=2\pi i{e^{-t} \over 2i}=\pi e^{-t}.}
그런데 이 경로는 두 개의 적분으로 분해된다.
∫
straight
+
∫
arc
=
π
e
−
t
,
{\displaystyle \int _{\mbox{straight}}+\int _{\mbox{arc}}=\pi e^{-t},}
따라서 다음과 같이 된다.
∫
−
a
a
=
π
e
−
t
−
∫
arc
.
{\displaystyle \int _{-a}^{a}=\pi e^{-t}-\int _{\mbox{arc}}.}
이로써
t
{\displaystyle t}
∫
arc
e
i
t
z
z
2
+
1
d
z
→
0
as
a
→
∞
.
{\displaystyle \int _{\mbox{arc}}{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz\rightarrow 0\ {\mbox{as}}\ a\rightarrow \infty .}
이므로 다음과 같이 적분이 계산된다.
∫
−
∞
∞
e
i
t
z
z
2
+
1
d
z
=
π
e
−
t
.
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{-t}.}
비슷하게
t
{\displaystyle t}
∫
−
∞
∞
e
i
t
z
z
2
+
1
d
z
=
π
e
t
,
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{t},}
이 됨을 알 수 있다. 그리하여 다음을 계산할 수 있다.
∫
−
∞
∞
e
i
t
z
z
2
+
1
d
z
=
π
e
−
|
t
|
.
◻
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{-\left|t\right|}.\quad \square }
(만약
t
=
0
{\displaystyle t=0}
π
{\displaystyle \pi }
![{\displaystyle t\in [0,2\pi ]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dbc9ed8510c75442ce1d2e73f021258fc7e04c6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}{1 \over z}\,dz&{}=\int _{0}^{2\pi }{1 \over e^{it}}\,ie^{it}\,dt=i\int _{0}^{2\pi }1\,dt\\&{}={\Big [}t{\Big ]}_{0}^{2\pi }i=(2\pi -0)i=2\pi i\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25daea1b9338fb14878f05e50ddb5dc0c3ca9f4c)
