계승적 집합

집합론에서, 어떤 모임 ${\displaystyle X}$에 대한 ${\displaystyle X}$-계승적 집합(繼承的集合, 영어: sets hereditarily in ${\displaystyle X}$)은 ${\displaystyle X}$에 속하며, 그 모든 원소도 ${\displaystyle X}$에 속하며, 그 원소의 원소 등등 역시 ${\displaystyle X}$에 속하는 집합이다.

정의

집합 ${\displaystyle X}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle X}$의 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq X}$에 대하여 다음 세 조건이 동치이다.

• ${\displaystyle \forall x\in X\colon (x\in S\iff x\subseteq S)}$
• ${\displaystyle \textstyle S=\left\{x\in X\colon x\cap \bigcup x\cup \bigcup \bigcup \cup \cdots \subseteq X\right\}}$
• ${\displaystyle X}$의 추이적 부분 집합들의 (부분 집합 관계에 대한) 부분 순서 집합의 최대 원소이다.

이 조건을 만족시키는 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq X}$는 유일하며, 이를 ${\displaystyle \operatorname {Hered} (X)\subseteq X}$로 표기하자. ${\displaystyle \operatorname {Hered} (X)}$의 원소는 ${\displaystyle X}$-계승적 집합(영어: sets hereditarily in ${\displaystyle X}$)이라고 한다.

보다 일반적으로, 임의의 모임 ${\displaystyle X}$에 대하여, 마찬가지로 ${\displaystyle X}$-계승적 집합들의 모임 ${\displaystyle \operatorname {Hered} (X)\subseteq X}$을 정의할 수 있다. 그러나 ${\displaystyle X}$가 고유 모임이더라도 ${\displaystyle \operatorname {Hered} (X)}$는 집합일 수 있다.

성질

다음이 성립한다.^[1]

${\displaystyle H_{\aleph _{1}}\subseteq V_{\omega _{2}}}$

즉, 계승적 가산 집합의 계수는 ${\displaystyle \omega _{1}}$ 미만이다.

예

${\displaystyle X}$	${\displaystyle \operatorname {Hered} (X)}$	집합?	설명
모든 집합의 모임 ${\displaystyle \operatorname {Set} }$	${\displaystyle V=\operatorname {Set} }$	고유 모임	폰 노이만 전체 (정칙성 공리를 가정할 경우)
추이적 집합 ${\displaystyle T}$	${\displaystyle \operatorname {Hered} (T)=T}$	집합
기수 ${\displaystyle \kappa }$에 대하여, 크기 ${\displaystyle \kappa }$ 미만의 집합들의 모임 ${\displaystyle \operatorname {Set} _{<\kappa }}$	${\displaystyle \operatorname {Hered} (\operatorname {Set} _{<\kappa })=H_{\kappa }}$	집합	계승적 ${\displaystyle \kappa }$-미만 집합들의 집합
유한 집합들의 모임 ${\displaystyle \operatorname {Set} _{<\aleph _{0}}}$	${\displaystyle \operatorname {Hered} (\operatorname {Set} _{<\aleph _{0}})=H_{\aleph _{0}}=V_{\omega }}$	집합	계승적 유한 집합(繼承的有限集合, 영어: hereditarily finite set)들의 집합. 폰 노이만 전체의 단계 ${\displaystyle V_{\omega }}$와 같다
가산 집합들의 모임 ${\displaystyle \operatorname {Set} _{<\aleph _{0}}}$	${\displaystyle \operatorname {Hered} (\operatorname {Set} _{<\aleph _{1}})=H_{\aleph _{1}}}$	집합	계승적 가산 집합(繼承的可算集合, 영어: hereditarily countable set)들의 집합
추이적 집합들의 모임 ${\displaystyle \operatorname {transSet} }$	${\displaystyle \operatorname {Hered} (\operatorname {transSet} )=\operatorname {Ord} }$	고유 모임	(폰 노이만 정의에서의) 순서수의 모임
${\displaystyle \{\varnothing \}}$	${\displaystyle \operatorname {Hered} (\{\varnothing \})=\varnothing }$	집합
${\displaystyle \varnothing }$	${\displaystyle \operatorname {Hered} (\varnothing )=\varnothing }$	집합
순서수 정의 가능 집합 ${\displaystyle \operatorname {OD} }$	${\displaystyle \operatorname {Hered} (\operatorname {OD} )=\operatorname {HOD} }$	고유 모임	계승적 순서수 정의 가능 집합(영어: hereditarily ordinal-definable set)