공간 주파수

수학, 물리학 및 공학에서 공간 주파수(영어: Spatial frequency)는 공간의 위치에 따라 주기적인 모든 구조의 특성이다. 공간 주파수는 구조의 사인파 구성 요소(푸리에 변환으로 결정됨)가 단위 거리당 얼마나 자주 반복되는지에 대한 척도이다.

녹색 바다 조개 이미지

녹색 바다 조개 이미지의 공간 주파수 표현

이미지 및 공간 주파수: 주파수 영역의 크기는 로그 스케일이며, 0 주파수는 중앙에 있다. 자연 이미지의 전형적인 특성인 낮은 주파수에서의 콘텐츠 클러스터링이 주목할 만하다.

공간 주파수의 SI 단위는 역미터(m⁻¹)이지만^[1] 사이클/미터(c/m)도 흔히 사용된다. 영상 처리 응용 분야에서는 공간 주파수가 종종 밀리미터당 사이클(c/mm) 또는 밀리미터당 선 쌍(LP/mm) 단위로 표현된다.

파의 전파에서 공간 주파수는 파수라고도 알려져 있다. 일반적인 파수는 파장 ${\displaystyle \lambda }$의 역수로 정의되며 일반적으로 ${\displaystyle \xi }$^[2] 또는 때로는 ${\displaystyle \nu }$로 표시된다.^[3] $${\displaystyle \xi ={\frac {1}{\lambda }}.}$$ 라디안/미터(rad/m)로 표현되는 각 파수 ${\displaystyle k}$는 일반 파수 및 파장과 다음과 같은 관계를 갖는다. $${\displaystyle k=2\pi \xi ={\frac {2\pi }{\lambda }}.}$$

시각

시각 연구에서는 사인파 격자를 대비 감도와 같은 시각계의 능력을 조사하는 데 자주 사용한다. 이러한 자극에서 공간 주파수는 시야각의 도당 사이클 수로 표현된다. 사인파 격자는 또한 진폭(밝은 줄무늬와 어두운 줄무늬 사이의 강도 차이의 크기), 방향, 그리고 위상에서도 서로 다르다.

공간 주파수 이론

공간 주파수 이론은 시각 겉질이 허블과 위셀이 고양이의 V1 뉴런에 대한 초기 실험을 바탕으로 가설을 세운 직선 모서리 및 선의 코드가 아니라 공간 주파수 코드에 따라 작동한다는 이론을 말한다.^[4][5] 이 이론을 뒷받침하는 것은 시각 겉질 뉴런이 모서리나 막대보다 수용영역에서 특정 각도로 배치된 사인파 격자에 훨씬 더 강력하게 반응한다는 실험적 관찰이다. 일차 시각 겉질의 대부분의 뉴런은 시야의 특정 위치에서 특정 각도로 특정 주파수의 사인파 격자가 제시될 때 가장 잘 반응한다.^[6] (그러나 텔러(1984)가 지적했듯이^[7] 신경 코드가 상대적인 발화율과 관련되어 있다는 점을 고려할 때 특정 뉴런의 가장 높은 발화율을 특정 자극의 인지에서의 역할과 관련하여 특별한 의미를 지닌 것으로 취급하는 것은 현명하지 않을 것이다. 예를 들어, 인간 망막의 세 가지 원추세포에 의한 색상 코딩에서는 가장 강하게 발화하는 원추세포에 특별한 의미가 없다. 중요한 것은 세 가지 모두의 상대적인 발화율이다. 텔러(1984)는 유사하게 특정 자극에 대한 강한 발화율이 뉴런이 그 자극에 특화되어 있음을 나타내는 것으로 해석되어서는 안 된다고 언급했다. 유사한 발화율을 생성할 수 있는 자극의 동등성 클래스는 무한하기 때문이다.)

시각의 공간 주파수 이론은 두 가지 물리적 원리에 기반을 둔다.

• 모든 시각 자극은 빛의 강도를 통과하는 선을 따라 플롯하여 나타낼 수 있다.
• 모든 곡선은 푸리에 해석학에 의해 구성 사인파로 분해될 수 있다.

이 이론(아직 경험적 지원이 개발되지 않음)은 시각 겉질의 각 기능적 모듈에서 수용영역에 대해 푸리에 해석학(또는 그 부분적 형태^[8])이 수행되며, 각 모듈의 뉴런은 사인파 격자의 다양한 방향과 주파수에 선택적으로 반응한다고 가정한다.^[9] 특정 장면에 의해 영향을 받는 모든 시각 겉질 뉴런이 함께 반응할 때, 다양한 사인파 격자의 합으로 장면의 인식이 생성된다. (그러나 이 절차는 합의 결과물을 도형, 배경 등으로 조직화하는 문제를 다루지 않는다. 이것은 원래의 (푸리에 해석학 이전) 광자 강도 및 망막 투영 전체의 파장 분포를 효과적으로 복원하지만, 이 원래 분포에 정보를 추가하지 않는다. 따라서 이러한 가설적 절차의 기능적 가치는 불분명하다. "푸리에 이론"에 대한 다른 반론은 웨스트하이머(2001)가 논의했다.^[10]) 일반적으로 개별 공간 주파수 구성 요소는 모든 요소가 본질적으로 하나의 부드러운 표현으로 혼합되어 있기 때문에 인식하지 못한다. 그러나 컴퓨터 기반 필터링 절차를 사용하여 이미지를 개별 공간 주파수 구성 요소로 분해할 수 있다.^[11] 시각 뉴런에 의한 공간 주파수 감지에 대한 연구는 직선 모서리를 사용하는 이전 연구를 반박하기보다는 보완하고 확장한다.^[12]

추가 연구에 따르면 서로 다른 공간 주파수는 자극의 모습에 대한 다른 정보를 전달한다. 높은 공간 주파수는 이미지의 급격한 공간적 변화(예: 가장자리)를 나타내며, 일반적으로 특징 정보와 세부 사항에 해당한다. M. 바(2004)는 낮은 공간 주파수가 일반적인 방향과 비율과 같은 모양에 대한 전체 정보를 나타낸다고 제안했다.^[13] 얼굴에 대한 빠르고 전문화된 인식은 낮은 공간 주파수 정보에 더 많이 의존하는 것으로 알려져 있다.^[14] 성인 일반 인구에서 공간 주파수 식별 임계값은 약 7%이다. 난독증이 있는 개인에서는 종종 더 좋지 않다.^[15]

MRI의 공간 주파수

 이 부분의 본문은 자기 공명 영상의 k-공간입니다.

공간 주파수가 수학 함수에서 변수로 사용될 때, 그 함수는 k-공간에 있다고 한다. 2차원 k-공간은 MRI에 원시 데이터 저장 공간으로 도입되었다. k-공간의 각 데이터 포인트 값은 1/미터 단위, 즉 공간 주파수 단위로 측정된다.

k-공간의 원시 데이터가 주기 함수의 특징을 보이는 것은 매우 흔하다. 주기성은 공간 주파수가 아니라 시간 주파수이다. MRI 원시 데이터 매트릭스는 일련의 위상 가변 스핀-에코 신호로 구성된다. 각 스핀-에코 신호는 시간의 싱크함수이며, 다음과 같이 설명할 수 있다. $${\displaystyle {\text{Spin-Echo}}={\frac {M_{\mathrm {0} }\sin \omega _{\mathrm {r} }t}{\omega _{\mathrm {r} }t}}}$$ 여기서 $${\displaystyle \omega _{\mathrm {r} }=\omega _{\mathrm {0} }+{\bar {\gamma }}rG}$$ 여기서 ${\displaystyle {\bar {\gamma }}}$는 자기회전비 상수이고, ${\displaystyle \omega _{\mathrm {0} }}$는 스핀의 기본 공명 주파수이다. 기울기 G의 존재로 인해 공간 정보 r은 주파수 ${\displaystyle \omega }$에 인코딩된다. MRI 원시 데이터에서 보이는 주기성은 바로 이 주파수 ${\displaystyle \omega _{\mathrm {r} }}$이며, 이는 본질적으로 시간 주파수이다.

회전 프레임에서는 ${\displaystyle \omega _{\mathrm {0} }=0}$이고, ${\displaystyle \omega _{\mathrm {r} }}$는 ${\displaystyle {\bar {\gamma }}rG}$로 단순화된다. ${\displaystyle k={\bar {\gamma }}Gt}$라고 하면 스핀-에코 신호는 다음과 같은 대체 형태로 표현된다. $${\displaystyle {\text{Spin-Echo}}={\frac {M_{\mathrm {0} }\sin rk}{rk}}}$$

이제 스핀-에코 신호는 k-공간에 있다. r을 k-공간 주파수로 하는 k의 주기 함수가 되지만, "공간 주파수"는 실제 공간 r에서 보이는 주기성의 이름으로 예약되어 있기 때문에 "공간 주파수"는 아니다.

k-공간 영역과 공간 영역은 푸리에 쌍을 이룬다. 각 영역에서 공간 정보와 공간 주파수 정보라는 두 가지 정보가 발견된다. 모든 의사에게 매우 흥미로운 공간 정보는 k-공간 영역에서 주기 함수로 보이고 공간 영역에서는 이미지로 보인다. 일부 MRI 엔지니어에게 흥미로울 수 있는 공간 주파수 정보는 공간 영역에서는 쉽게 볼 수 없지만 k-공간 영역에서는 데이터 포인트로 쉽게 볼 수 있다.

같이 보기

• 푸리에 해석학
• 슈퍼렌즈
• 시각
• 프린지 가시성
• 역공간