완전순열

조합론에서 완전순열(영어: complete permutation) 또는 교란순열(영어: derangement 디레인지먼트^[*])은 모든 원소의 위치를 바꾸는 순열이다.

정의

집합 ${\displaystyle S}$의 순열 (일대일 대응) ${\displaystyle \sigma \colon S\to S}$가 모든 ${\displaystyle s\in S}$에 대하여 다음 성질을 만족시키면, ${\displaystyle \sigma }$를 완전순열이라고 한다.

${\displaystyle \sigma (s)\neq s.}$

즉, 완전순열은 고정점이 없는 순열이다.

준계승

${\displaystyle S}$ 유한 집합이라고 하고, 그 크기를 ${\displaystyle |S|=n}$이라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle n}$개의 원소에 대한 완전순열의 수를 준계승(영어: subfactorial 서브팩토리얼^[*])이라고 한다. 준계승은 기호로 ${\displaystyle !n}$으로 쓴다.

준계승에서 ${\displaystyle P_{1}\cup \cdots \cup P_{n}}$ 의 개수를 빼면 된다.

${\displaystyle !n=(n-1)\left(!(n-1)+!(n-2)\right).}$

${\displaystyle !n=n\times$ !(n-1)+(-1)^{n}.}

증명

이 공식들은 점화식을 사용하여 증명할 수 있다. 집합 ${\displaystyle S=\{1,2,3,\dots ,n\}}$ 에서 순열 ${\displaystyle \sigma \colon S\to S}$가 있을 때, 순열 ${\displaystyle \sigma }$의 원소 1은 완전순열이 되기 위하여 1이 아닌 다른 자리에 위치해야 하므로 그 방법의 수는 (n-1)개이다. 이후 경우를 두 가지로 나누어 볼 수 있다. 1이 특정한 자리 x에 위치하고, x가 1의 자리에 위치하는 순열이 될 경우: 이 경우, 원래의 n개 원소에서 1과 x를 제외한 나머지 (n-2)개의 원소를 사용하는 완전순열이 되므로 !(n-2)로 표현이 가능하다. 1이 특정한 자리 x에 위치하고, x가 1의 자리에 위치하지 않는 순열이 될 경우: 이 경우, 1은 x의 자리에 위치하였지만, x는 1에 위치하지 않는다는 조건이 있으므로 1과 x를 같은 위상의 원소로 볼 수 있다. 따라서 !(n-1)로 표현이 가능하다. 이상을 종합하여 볼 때, n개의 원소가 갖는 완전순열의 개수 !n은 위 공식으로 주어진다.

${\displaystyle !n=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(n-k)!=n!\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\right)=n!\left({\frac {1}{0!}}-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-\cdots +(-1)^{n}{\frac {1}{n!}}\right).}$

${\displaystyle !n={\frac {\Gamma (n+1,-1)}{e}}=\left[{\frac {n!}{e}}\right].}$

외부 링크

• “Inversion (in combinatorics)”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Montmort matching problem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.