교환자

이 문서는 군론의 개념에 관한 것입니다. 환론의 개념에 대해서는 교환자 (환론) 문서를 참고하십시오.

군론에서 교환자(交換子, 영어: commutator)는 두 원소 사이의 교환 법칙의 실패를 측정하는 이항 연산이다.

정의

군 ${\displaystyle G}$의 두 원소 ${\displaystyle g,h\in G}$의 교환자는 다음과 같다.

${\displaystyle [g,h]=g^{-1}h^{-1}gh}$

(일부 문헌에서는 대신 순서를 바꾸어 ${\displaystyle [g,h]=ghg^{-1}h^{-1}}$로 정의하기도 한다.)

성질

임의의 두 원소 ${\displaystyle g,h\in G}$에 대하여, ${\displaystyle gh=hg}$일 필요 충분 조건은 ${\displaystyle [g,h]=1}$인 것이다. 즉, 임의의 군 ${\displaystyle G}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 아벨 군이다.
• 모든 교환자가 1이다.

항등식

교환자는 다음과 같은 항등식을 만족시킨다.^[1]:4 여기서 ${\displaystyle y^{x}}$는 켤레 원소 ${\displaystyle x^{-1}yx}$를 나타낸다.

• ${\displaystyle x^{y}=x[x,y]}$
• ${\displaystyle [y,x]=[x,y]^{-1}}$
• ${\displaystyle [xy,z]=[x,z]^{y}\cdot [y,z]}$ and ${\displaystyle [x,yz]=[x,z]\cdot [x,y]^{z}}$
• ${\displaystyle [x,y^{-1}]=[y,x]^{y^{-1}}}$ and ${\displaystyle [x^{-1},y]=[y,x]^{x^{-1}}}$
• (홀-비트 항등식 영어: Hall–Witt identity) ${\displaystyle [[x,y^{-1}],z]^{y}[[y,z^{-1}],x]^{z}[[z,x^{-1}],y]^{x}=1}$
• (홀-비트 항등식 영어: Hall–Witt identity) ${\displaystyle [[x,y],z^{x}][[z,x],y^{z}][[y,z],x^{y}]=1}$

홀-비트 항등식은 환론의 교환자의 야코비 항등식과 유사하다.

또한, 임의의 군에 대하여 다음이 성립한다.

${\displaystyle (xy)^{2}=x^{2}y^{2}[y,x][[y,x],y]\qquad \forall x,y\in G}$

만약 ${\displaystyle G}$의 교환자 부분군이 중심에 속한다면 (${\displaystyle G^{(1)}\leq \operatorname {Z} (G)}$), 다음이 추가로 성립한다.

${\displaystyle (xy)^{n}=x^{n}y^{n}[y,x]^{\binom {n}{2}}\qquad \forall x,y\in G}$

교환자 부분군

 이 부분의 본문은 교환자 부분군입니다.

주어진 군 ${\displaystyle G}$의 원소들 가운데 어떤 교환자로 표현될 수 있는 것들은 일반적으로 부분군을 이루지 않지만, 교환자 부분군이라 불리는 부분군을 생성한다. 즉, 교환자 부분군은 (유한 개의) 교환자들의 곱으로 표현될 수 있는 원소들로 구성된 부분군이다.