환 달린 공간

수학에서 환 달린 공간(環달린空間, 영어: ringed space)은 간단히 말하면 각 열린집합마다 가환환이 달려 있어서, 그 환의 각 원소들을 열린집합 위의 일종의 함수로 볼 수 있는 공간이다. 이는 해석학 전반에서 널리 쓰이는 개념이며, 대수기하학에서 스킴을 정의하기 위해서도 사용된다.

정의

환 달린 공간 ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$은 위상 공간 ${\displaystyle X}$와 그 위의 가환환의 층 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$의 순서쌍이다. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$를 ${\displaystyle X}$의 구조층(構造層, 영어: structure sheaf)라고 한다.

두 환 달린 공간 ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$, ${\displaystyle (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}$ 사이의 사상(寫像, 영어: morphism of ringed spaces) ${\displaystyle (f,f^{\#})}$은 다음과 같은 순서쌍이다.

• ${\displaystyle f\colon X\to Y}$는 연속 함수이다.
• ${\displaystyle f^{\#}\colon {\mathcal {O}}_{Y}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$는 가환환의 층의 사상이다. 구체적으로, ${\displaystyle X}$의 각 열린집합 ${\displaystyle U\subseteq X}$에 대하여, ${\displaystyle f_{U}^{\#}\colon O_{Y}(U)\to O_{X}(f^{-1}(U))}$는 환 준동형이며, 이는 제한 사상과 호환되어야 한다.

국소환 달린 공간

국소환 달린 공간(局所環달린空間, 영어: locally ringed space)은 구조층의 모든 줄기가 국소환인 환 달린 공간이다. (각 열린집합 ${\displaystyle U}$에 대해 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$가 국소환일 필요는 없다.)

두 국소환 달린 공간 사이의 사상(寫像, 영어: morphism of locally ringed spaces) ${\displaystyle (f,f^{\#})\colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}$은 다음과 같은 환 달린 공간의 사상이다.

• 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle f^{\#}}$로 인하여 유도되는 줄기 사이의 환 준동형 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y,f(x)}\to {\mathcal {O}}_{X,x}}$ 아래, ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$의 유일한 극대 아이디얼의 원상은 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y,f(x)}}$의 유일한 극대 아이디얼과 같다.

열린 몰입

환 달린 공간 사상 ${\displaystyle (f,f^{\#})\colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}$이 다음 조건들을 모두 만족시킨다면, 이를 열린 몰입(영어: open immersion)이라고 한다.

• ${\displaystyle f}$의 치역 ${\displaystyle f(X)}$은 열린집합이며, ${\displaystyle f}$는 치역으로의 위상 동형을 정의한다.
• ${\displaystyle f^{\#}\colon {\mathcal {O}}_{Y}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$이 층의 동형 사상 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}|_{f(X)}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$을 유도한다.

환 달린 공간 ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ 및 ${\displaystyle X}$의 열린집합 ${\displaystyle U\subseteq X}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle (U,{\mathcal {O}}_{X}|_{U})}$는 환 달린 공간을 이루며, 자연스러운 포함 사상 ${\displaystyle (U,{\mathcal {O}}_{X}|_{U})\to (X,{\mathcal {O}}_{X})}$은 열린 몰입을 이룬다. 만약 ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$가 국소환 달린 공간이라면 ${\displaystyle (U,{\mathcal {O}}_{X}|_{U})}$ 역시 국소환 달린 공간이며, 포함 사상은 국소환 달린 사상을 이룬다.

모든 열린 몰입은 이러한 꼴의 사상과 동형이다. 즉, 열린 몰입은 그 치역에 따라 결정된다.

닫힌 몰입

 이 부분의 본문은 아이디얼 층입니다.

환 달린 공간 사상 ${\displaystyle (f,f^{\#})\colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}$이 다음 조건들을 모두 만족시킨다면, 이를 닫힌 몰입(영어: closed immersion)이라고 한다.

• ${\displaystyle f}$의 치역은 닫힌집합이며, ${\displaystyle f}$는 치역으로의 위상 동형을 정의한다.
• ${\displaystyle f^{\#}\colon {\mathcal {O}}_{Y}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$는 가환환 값의 층의 전사 사상이다. 즉, 모든 줄기 사상 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y,f(x)}\to {\mathcal {O}}_{X,x}}$은 전사 함수이다.

환 달린 공간 ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ 위의 아이디얼 층 ${\displaystyle {\mathcal {I}}\subseteq {\mathcal {O}}_{X}}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 지지 집합 ${\displaystyle \operatorname {supp} {\mathcal {I}}\subseteq X}$은 닫힌집합이다. ${\displaystyle \operatorname {supp} {\mathcal {I}}\subseteq X}$ 위의 몫층 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}}}$을 정의할 수 있으며, ${\displaystyle (\operatorname {supp} {\mathcal {I}},{\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}})\to ({\mathcal {X}},{\mathcal {O}}_{X})}$는 닫힌 몰입을 이룬다. 만약 ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$가 국소환 달린 공간이라면 ${\displaystyle (\operatorname {supp} {\mathcal {I}},{\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}})}$ 역시 국소환 달린 공간이며, 포함 사상은 국소환 달린 사상을 이룬다.

모든 닫힌 몰입은 이러한 꼴의 사상과 동형이다. 즉, 닫힌 몰입은 그 아이디얼 층에 따라 결정된다. 이름과 달리, 닫힌 몰입은 그 지지 집합인 닫힌집합에 의하여 결정되지 않는다.

성질

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

환 달린 공간 ⊋ 국소환 달린 공간 ⊋ 스킴 ⊋ 아핀 스킴

범주론적 성질

환 달린 공간의 범주 ${\displaystyle \operatorname {RingSp} }$와 국소환 달린 공간의 범주 ${\displaystyle \operatorname {LocRingSp} }$는 둘 다 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.^[1]

${\displaystyle \operatorname {LocRingSp} }$는 ${\displaystyle \operatorname {RingSp} }$의 충만한 부분 범주가 아니지만, 쌍대 반사 부분 범주이다. 즉, 포함 함자

${\displaystyle \operatorname {LocRingSp} \hookrightarrow \operatorname {RingSp} }$

는 오른쪽 수반 함자를 가진다.^{[1]:Corollary 6}

예

모든 스킴은 국소환 달린 공간이다.

국소 유클리드 공간 ${\displaystyle M}$ 위에 실수 값의 연속 함수의 층 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(M;\mathbb {R} )}$을 부여한다면, ${\displaystyle (M,{\mathcal {C}}^{0}(M;\mathbb {R} ))}$은 국소환 달린 공간을 이룬다.

마찬가지로, 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$ 위에 실수 값의 매끄러운 함수의 층 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )}$을 부여한다면, ${\displaystyle (M,{\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} ))}$은 국소환 달린 공간을 이룬다.

마찬가지로, 복소다양체 ${\displaystyle M}$ 위에 복소수 값의 정칙 함수의 층 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}}$을 부여한다면, ${\displaystyle (M,{\mathcal {O}}_{M})}$은 국소환 달린 공간을 이룬다.