그람 행렬

다음은 그람 행렬에 관한 설명이다.

실수체에서 정의하는경우 , 그람 매트릭스(그람 행렬) G는 어떤 벡터 M 과 그들의 집합 V를 예약했을때, 이들의 내적 곱의 모든 경우의 행렬 표현이다. 즉,

G_(ij) = V_i^(T) V_j

□^(T)는 전치

그람 행렬식

그람 행렬식(Gram determinant)은 그람 행렬(Gram matrix)의 행렬식이다.

${\displaystyle G(x_{1},\dots ,x_{n})={\begin{vmatrix}\langle x_{1},x_{1}\rangle &\langle x_{1},x_{2}\rangle &\dots &\langle x_{1},x_{n}\rangle \\\langle x_{2},x_{1}\rangle &\langle x_{2},x_{2}\rangle &\dots &\langle x_{2},x_{n}\rangle \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\langle x_{n},x_{1}\rangle &\langle x_{n},x_{2}\rangle &\dots &\langle x_{n},x_{n}\rangle \end{vmatrix}}}$

그람 행렬식은 또한 벡터의 외적 대수로 표현될 수 있다.

${\displaystyle G(x_{1},\dots ,x_{n})=\|x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{n}\|^{2}}$

그램 행렬은 등거리변환에서 벡터 V_i를 결정한다.

정부호행렬 M {\displaystyle M} 에 대한 성질

복소수체에서 ${\displaystyle n\times n}$ 복소수 양의 정부호행렬 ${\displaystyle M}$에 대해 다음의 성질이 성립한다.

• 어떠한 선형 독립인 벡터 ${\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n}}$가 존재할때, ${\displaystyle M_{ij}=x_{i}^{*}x_{j}}$가 성립한다면 ${\displaystyle M}$은 그람행렬이다.
• □^*는 켤레전치
• 고윳값이 모두 양수이다.

같이 보기

• 에르미트행렬
• 해밀턴 행렬
• 공분산행렬
• 궤도겹침행렬

참고

• “Gram matrix”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Volumes of parallelograms 보관됨 2020-01-13 - 웨이백 머신 by Frank Jones
• 매스월드