그래프 색칠

그래프 이론에서 그래프 색칠(graph色漆, 영어: graph colo(u)ring)은 그래프의 꼭지점들에, 같은 색이 인접하지 않도록 색을 부여하는 방법이다. 이를 사용하여 그래프의 불변량을 정의할 수 있다.

그래프의 3개의 색으로의 색칠. 이 그래프는 2개의 색으로 색칠할 수 없으며, 따라서 이 그래프의 색칠수는 3이다.

정의

(단순) 그래프 ${\displaystyle G}$의 색칠 ${\displaystyle (C,c)}$은 집합 ${\displaystyle C}$ 및 함수 ${\displaystyle c\colon V(G)\to C}$의 순서쌍이다. 이 경우, 임의의 변 ${\displaystyle v_{1}v_{2}\in E(G)}$에 대하여 ${\displaystyle c(v_{1})\neq c(v_{2})}$이어야만 한다. 색칠 ${\displaystyle (C,c)}$에서, ${\displaystyle C}$의 원소를 색(色, 영어: colo(u)r)이라고 한다.

그래프 ${\displaystyle G}$의 두 색칠 ${\displaystyle (C,c)}$, ${\displaystyle (C',c')}$이 주어졌을 때, 만약 전단사 함수 ${\displaystyle f\colon C\to C'}$가 존재하여 ${\displaystyle c'=f\circ c}$인 경우, 두 색칠이 서로 동형이라고 한다.

그래프 ${\displaystyle G}$의 변 색칠(邊色漆, 영어: edge colo(u)ring)은 ${\displaystyle G}$의 선 그래프 ${\displaystyle L(G)}$의 색칠이다. 평면 그래프 ${\displaystyle G}$의 면 색칠(面色漆, 영어: face colo(u)ring)은 그 쌍대 그래프(영어: dual graph) ${\displaystyle G'}$의 색칠이다.

색칠 다항식과 색칠수

이 그래프 ${\displaystyle G}$의 경우 ${\displaystyle P_{G}a(3)=12}$이다.

그래프 ${\displaystyle G}$에서, 색 ${\displaystyle C=\{1,2,\dots ,t\}}$을 공역으로 하는 색칠의 수를 ${\displaystyle P_{G}(t)}$라고 쓰자. (이 경우, 서로 동형인 색칠들도 중복하여 센다.) 만약 ${\displaystyle G}$가 유한 그래프일 경우, 이는 ${\displaystyle t}$에 대하여 다항식을 이루며, 이를 ${\displaystyle G}$의 색칠 다항식(영어: chromatic polynomial)이라고 한다. 그래프 ${\displaystyle G}$의 색칠수(色漆數, 영어: chromatic number) ${\displaystyle \chi (G)}$는 색칠이 존재하는 최소의 정수이다.

${\displaystyle \chi (G)=\min\{t\in \mathbb {N} \colon P_{G}(t)>0\}}$

마찬가지로, 변 색칠 다항식 · 변 색칠수 따위를 정의할 수 있다. 변 색칠수는 색칠 지표(영어: chromatic index)라고도 하며, ${\displaystyle \chi '(G)}$로 쓴다.

성질

(단순) 유한 그래프 ${\displaystyle G}$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치다.

• ${\displaystyle \chi (G)=1}$
• ${\displaystyle P_{G}(t)=t^{n}}$ (${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$)
• ${\displaystyle |E(G)|=0}$이며 ${\displaystyle |V(G)|\geq 1}$

(단순) 그래프 ${\displaystyle G}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치다.

• ${\displaystyle \chi (G)=2}$
• ${\displaystyle G}$는 이분 그래프이다.

모든 (단순) 유한 그래프 ${\displaystyle G}$에 대하여, 다음이 성립한다.

• ${\displaystyle 1\leq \chi (G)\leq |V(G)|}$
• ${\displaystyle \chi (G)\left(\chi (G)-1\right)\leq 2|E(G)|}$
• ${\displaystyle \omega (G)\leq \chi (G)\leq \Delta (G)+1}$

여기서 ${\displaystyle \omega (G)}$는 ${\displaystyle G}$의 최대 클릭의 크기이며, ${\displaystyle \Delta (G)=\max _{v\in V(G)}\deg v}$는 ${\displaystyle G}$의 꼭짓점들의 차수들의 최댓값이다. 브룩스의 정리(영어: Brooks’ theorem)에 따르면, 임의의 연결 유한 그래프 ${\displaystyle G}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle \chi (G)=\Delta (G)+1}$이다.
• ${\displaystyle G}$는 완벽 그래프이거나 홀수 크기의 순환 그래프이다.

4색정리에 따르면, 모든 유한 평면 그래프 ${\displaystyle G}$에 대하여

${\displaystyle \chi (G)\leq 4}$

이다. 그뢰치의 정리(영어: Grötzsch’s theorem)에 따르면, 크기가 3인 순환을 갖지 않는 유한 평면 그래프 ${\displaystyle G}$에 대하여

${\displaystyle \chi (G)\leq 3}$

이다.

색칠 다항식의 성질

${\displaystyle n}$개의 꼭짓점을 갖는 그래프의 색칠 다항식은 ${\displaystyle n}$차 다항식이다.

(단순) 유한 그래프 ${\displaystyle G}$에 대하여, 다음 두 조건이 동치다.

• ${\displaystyle \chi _{G}(t)=t(t-1)^{n-1}}$
• ${\displaystyle G}$는 ${\displaystyle n}$개의 꼭짓점을 갖는 나무이다.

(단순) 유한 그래프 ${\displaystyle G}$에 대하여, 다음 두 조건이 동치다.

• ${\displaystyle \chi _{G}(t)=(t-1)^{n}+(-1)^{n}(t-1)}$
• ${\displaystyle G}$는 크기 ${\displaystyle n}$의 순환 그래프 ${\displaystyle C_{n}}$이다.

색칠 다항식이 ${\displaystyle t(t-1)^{3}(t-2)}$인 그래프

두 그래프의 색칠 다항식이 같을 경우, 이들이 색칠 동치(영어: chromatically equivalent)라고 한다. 서로 동형이 아닌 두 그래프가 색칠 동치일 수 있다. 예를 들어, 꼭짓점의 수가 같지만 서로 동형이 아닌 두 나무는 색칠 동치이다. 또한, 색칠 다항식이 ${\displaystyle t(t-1)^{3}(t-2)}$인 그래프는 총 3개가 있다.

연결 성분 ${\displaystyle G_{1},\dots ,G_{n}}$으로 구성된 그래프의 색칠 다항식은 다음과 같다.

${\displaystyle P_{G}(t)=\prod _{i=1}^{n}P_{G_{i}}(t)}$

(단순) 그래프 ${\displaystyle G}$ 및 ${\displaystyle uv\in E(G)}$에 대하여, ${\displaystyle G-uv}$를 ${\displaystyle G}$에서 변 ${\displaystyle uv}$를 제거한 그래프, ${\displaystyle G/uv}$를 ${\displaystyle G}$에서 변 ${\displaystyle uv}$를 제거하고 ${\displaystyle u}$와 ${\displaystyle v}$를 합친 그래프라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

${\displaystyle P_{G}=P_{G-uv}-P_{G/uv}}$

즉, 이를 사용하여 색칠 다항식을 재귀적으로 계산할 수 있다.

알고리즘

임의의 그래프에 대하여 ${\displaystyle k}$-색칠이 존재하는지 여부는 NP-완전 결정 문제다. 이는 리처드 카프가 1972년에 보인 21개의 NP-완전 문제 중의 하나이다.

임의의 그래프 ${\displaystyle G}$에 대하여, ${\displaystyle \Delta (G)+1}$-색칠은 항상 존재하며, 탐욕 알고리즘으로 쉽게 찾을 수 있다.

예

일부 그래프의 색칠 다항식 및 색칠수는 다음과 같다.

다항식	색칠 다항식	색칠수
변이 없는 그래프 ${\displaystyle {\bar {K}}_{n}}$	${\displaystyle t^{n}}$	1
완전 그래프 ${\displaystyle K_{n}}$	${\displaystyle t(t-1)(t-2)...(t-(n-1))}$	${\displaystyle n}$
${\displaystyle n}$개의 꼭짓점을 갖는 나무	${\displaystyle t(t-1)^{n-1}}$	2
순환 그래프 ${\displaystyle C_{n}}$	${\displaystyle (t-1)^{n}+(-1)^{n}(t-1)}$	2 (${\displaystyle n}$ 짝수), 3 (${\displaystyle n}$ 홀수)
페테르센 그래프	${\displaystyle t(t-1)(t-2)(t^{7}-12t^{6}+67t^{5}-230t^{4}+529t^{3}-814t^{2}+775t-352)}$	3

응용

그래프 색칠 문제는 컴파일러에서 프로세서 레지스터를 할당하는 문제, 무선 기지국 사이에서 간섭을 없애기 위한 주파수 할당 문제 등에 응용된다.

스도쿠 역시 일종의 그래프 색칠 문제이다. 이 경우, 9×9 격자의 각 행·각 열·각 3×3 부분격자는 클릭을 이루며, 스도쿠는 주어진 부분적 9-색칠을 완성시키는 문제이다.

외부 링크

• “Graph colouring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.

같이 보기

• 텃 다항식
• 램지의 정리