그로모프-위튼 불변량

수학에서, 그로모프-위튼 불변량(Громов-Witten不變量, 영어: Gromov–Witten invariant)은 주어진 심플렉틱 다양체 위의 정칙 곡선의 수를 헤아리는 불변량이다. 위상 끈 이론의 A모형의 관측 가능량이다.

정의

${\displaystyle (M,\omega )}$이 ${\displaystyle 2d}$차원 콤팩트 심플렉틱 다양체이며, ${\displaystyle \alpha \in \operatorname {H} _{2}(M;\mathbb {Z} )}$이 주어졌다고 하자.

안정 사상의 모듈러스 공간

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}}$이 ${\displaystyle n}$개의 점들이 주어진 종수 ${\displaystyle g}$의 리만 곡면의 모듈러스 스택이라고 하자. ${\displaystyle M}$ 위에 심플렉틱 구조 ${\displaystyle \omega }$와 호환되는 임의의 개복소구조 ${\displaystyle J}$를 주고, ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}(M;\alpha )}$가 안정 사상(영어: stable map) ${\displaystyle f\colon \Sigma _{g}\to M}$ 가운데, ${\displaystyle f(\Sigma _{g})\simeq \alpha }$인 것들의 모듈라이 공간이라고 하자.

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}(M;\alpha )}$의 차원은 다음과 같다.

${\displaystyle \dim {\mathcal {M}}_{g,n}(M;\alpha )=2c_{1}^{M}(\alpha )+(2d-6)(1-g)+2n}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}(M;\alpha )}$의 점들은 다음과 같은 꼴이다.

${\displaystyle (\Sigma ,z_{1},\dots ,z_{n},f)}$

여기서 ${\displaystyle \Sigma }$는 종수 ${\displaystyle g}$의 리만 곡면이며, ${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}\in \Sigma }$은 리만 곡면 위의 점들이며, ${\displaystyle f\colon \Sigma \to M}$은 ${\displaystyle J}$에 대하여 정칙 사상이다.

그로모프-위튼 불변량

다음과 같은 값매김 사상(영어: evaluation map)이 존재한다.

${\displaystyle \operatorname {ev} \colon {\mathcal {M}}_{g,n}(M;\alpha )\to {\mathcal {M}}_{g,n}\times M^{n}}$

${\displaystyle \operatorname {ev} \colon (\Sigma ,z_{1},\dots ,z_{n},f)\mapsto (\Sigma ,f(z_{1}),\dots ,f(z_{n}))}$

그렇다면 ${\displaystyle M}$의 그로모프-위튼 호몰로지류 ${\displaystyle \operatorname {GW} _{g,n}^{M,\alpha }}$은 ${\displaystyle M}$의 기본류의 값매김 사상에 대한 상이다.

${\displaystyle \operatorname {GW} _{g,n}^{M,\alpha }=\operatorname {ev} ([M])\in \operatorname {H} _{\dim {\mathcal {M}}_{g,n}(X,\alpha )}({\mathcal {M}}_{g,n}\times M^{n};\mathbb {Q} )}$

임의의 호몰로지류

${\displaystyle \beta \in {\mathcal {M}}_{g,n}}$

${\displaystyle \gamma _{1},\dots ,\gamma _{n}\in \operatorname {H} (M;\mathbb {Z} )}$

에 대하여, 그로모프-위튼 불변량은 다음과 같은 유리수이다.

${\displaystyle \operatorname {GW} _{g,n}^{M,\alpha }(\beta ,\gamma _{1},\dots ,\gamma _{n})=\operatorname {PD} (\operatorname {GW} _{g,n}^{M,\alpha })(\beta \times \gamma _{1}\times \cdots \times \gamma _{n})\in \mathbb {Q} }$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {PD} }$는 푸앵카레 쌍대를 뜻한다.

그로모프-위튼 불변량 ${\displaystyle \operatorname {GW} _{g,n}^{M,\alpha }(\beta ,\gamma _{1},\dots ,\gamma _{n})}$은 정칙 사상 ${\displaystyle f\colon \Sigma _{g}\to M}$ 가운데

• ${\displaystyle f([\Sigma _{g}])\simeq \alpha }$
• ${\displaystyle \Sigma _{g}\in \beta }$
• ${\displaystyle f(z_{i})\in \gamma _{i}}$

인 것들의 수를 센다. 이는 가상적(영어: virtual) 수이며, 따라서 음수이거나 유리수일 수 있다.

참고 문헌

• 조용승 (2012). 《지표이론》. 경문사. ISBN 978-89-6105-622-9. 2014년 11월 12일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 7월 13일에 확인함.
• 조용승 (2000). “심플렉틱 다양체의 불변량”. 《Communications of the Korean Mathematical Society》 15 (3): 391–434. ISSN 1225-1763. 2015년 7월 13일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 7월 13일에 확인함.
• McDuff, Dusa; Salamon, Dietmar (2012). 《${\displaystyle J}$-holomorphic curves and symplectic topology》. American Mathematical Society colloquium publications (영어) 52 2판. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8746-2.
• Fulton, W.; Pandharipande, R. (1996). “Notes on stable maps and quantum cohomology” (영어). arXiv:alg-geom/9608011.

외부 링크

• “Gromov-Witten invariants”. 《nLab》 (영어).
• 김범식 (2010). “거울대칭, 그리고 곡선 세기” (PDF). 《과학의 지평》. 4–10쪽. 2016년 3월 4일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 7월 6일에 확인함.
• 정대웅 (2010). “Gromov-Witten 이론의 연구동향” (PDF). 《과학의 지평》. 18–18쪽. 2015년 7월 7일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 7월 6일에 확인함.

같이 보기

• 양자 코호몰로지
• 위상 끈 이론