그뢰브너 기저

가환대수학에서 그뢰브너 기저(Gröbner基底, 영어: Gröbner basis)는 다항식환의 아이디얼의 여러 성질들을 쉽게 계산할 수 있게 하는 부분집합이다.

정의

${\displaystyle n}$개의 변수 ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$에 대한 단항식(單項式, 영어: monomial)은

${\displaystyle x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}}\cdots x_{n}^{m_{n}}\qquad (m_{1},\dots ,m_{n}\in \mathbb {N} =\mathbb {Z} ^{+}\cup \{0\})}$

과 같은 꼴의 다항식이다. ${\displaystyle n}$개 변수에 대한 단항식 순서(單項式順序, 영어: monomial order)는 다음 성질들을 만족시키는, 단항식 집합 위의 전순서 ${\displaystyle \leq }$이다. 모든 단항식 ${\displaystyle M,N,P}$에 대하여,

• ${\displaystyle M<N\iff MP<NP}$
• ${\displaystyle M<MP}$

체 ${\displaystyle K}$에 대한 다항식환 ${\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$을 생각하자. 그렇다면 다항식 ${\displaystyle p\in K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$은, 단항식의 ${\displaystyle K}$-선형 결합으로 표현할 수 있다. 단항식 순서 ${\displaystyle \leq }$에 대한 다항식 ${\displaystyle p}$의 최고차항(영어: leading term) ${\displaystyle \operatorname {lt} p}$은 ${\displaystyle p}$를 구성하는 단항식들 가운데, 단항식 순서 ${\displaystyle \leq }$에 대하여 가장 큰 단항식이다.

아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$와 단항식 순서 ${\displaystyle \leq }$가 주어졌다고 하자. 만약 다항식 집합 ${\displaystyle G\subset {\mathfrak {a}}}$의 최고차항들로 생성되는 아이디얼 ${\displaystyle (\operatorname {lt} G)}$가 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$의 최고차항으로 생성되는 아이디얼 ${\displaystyle (\operatorname {lt} {\mathfrak {a}})}$와 일치한다면, ${\displaystyle G}$를 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$의 그뢰브너 기저라고 한다.

${\displaystyle (\operatorname {lt} {\mathfrak {a}})=(\operatorname {lt} G)}$

역사

브루노 부흐베르거(독일어: Bruno Buchberger)가 박사 학위 논문에서 1965년에 정의하고, 이를 계산하는 알고리즘을 발표하였다.^[1][2] "그뢰브너 기저"라는 이름은 부흐베르거의 박사 과정 지도 교수 볼프강 그뢰브너(독일어: Wolfgang Gröbner)의 이름을 딴 것이다.