극점 (복소해석학)

복소해석학에서 극점(極點, 영어: pole)은 국소적으로 ${\displaystyle 1/z^{k}}$가 ${\displaystyle z=0}$에서 갖는 특이점과 같은 형태의 특이점이다.

감마 함수의 절댓값. 감마 함수는 음의 정수에서 일련의 극점들을 갖는다.

정의

${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$가 복소평면의 열린 부분집합이라고 하고, 정칙함수 ${\displaystyle f\colon U\setminus \{z_{0}\}\to \mathbb {C} }$가 주어졌다고 하자. 정수 ${\displaystyle k}$에 대하여, ${\displaystyle (z-z_{0})^{k}f(z)}$가 ${\displaystyle z=z_{0}}$에서 제거 가능 특이점을 갖는지 여부를 생각할 수 있다. 즉 정칙함수 ${\displaystyle g\colon U\to \mathbb {C} }$가 존재하여, 모든 ${\displaystyle z\neq z_{0}}$에서 ${\displaystyle g(z)=(z-z_{0})^{k}f(z)}$이게 될 수 있는지 여부이다. 만약 위 성질을 만족시키는 최소의 ${\displaystyle k}$가 양의 정수라면, ${\displaystyle f}$가 ${\displaystyle z_{0}}$에서 극점을 갖는다고 한다. 이 경우, 위 성질을 만족시키는 최소의 양의 정수 ${\displaystyle k}$를 극점 ${\displaystyle z_{0}}$의 계수(영어: order)라고 한다.

계수가 1인 극점을 단순극(單純極, 영어: simple pole)이라고 한다.

같이 보기

• 특이점 (해석학)
• 분지절단
• 유수 (복소해석학)

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Pole”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.