뉴턴의 부등식

뉴턴의 부등식(Newton's inequalities, -不等式)은 영국의 물리학자이자 수학자인 아이작 뉴턴 경이 제시한 부등식이다. 간단히 말해서, 이 부등식은 기본대칭평균의 로그 값이 오목성을 띤다는 내용이다.

기본대칭평균

뉴턴의 부등식을 이해하기 위해서는 기본대칭평균의 개념을 이해할 필요가 있다. 이 개념은 다음과 같의 정의할 수 있다.^[1]

1. 어떤 n개의 임의 실수 ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}$ 가 주어졌을 때, 다항식 ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(x+a_{i})}$에서 ${\displaystyle x^{n-i}}$ 의 계수를 i-번째 기본대칭함수라 하고, ${\displaystyle \sigma _{i}}$ 로 쓴다.
2. 이때, i-번째 기본대칭평균 ${\displaystyle S_{i}}$는 ${\displaystyle S_{i}:={\frac {\sigma _{i}}{\binom {n}{i}}}}$ 로 정의한다.

공식화

위와 같은 기본대칭평균 개념을 이용하여, 임의의 실수 ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}$ 에 대하여 이 기본대칭평균을 ${\displaystyle S_{0},S_{1},...,S_{n}}$ 이라 할 때 뉴턴의 부등식은 다음과 같이 공식화할 수 있다.^[2]

• 모든 ${\displaystyle n>i,i\in N}$에 대하여 ${\displaystyle S_{i-1}S_{i+1}\leq S_{i}^{2}}$

같이 보기

• 매클로린의 부등식
• 뮤어헤드의 부등식